在之前的《学习笔记六：DNN前向传播算法与后向传播算法》中，我们对DNN的前向反向传播算法进行了数学推导以及总结。里面使用的损失函数为均方差，而激活函数为sigmoid。实际上DNN可以使用的损失函数和激活函数却有不少。那么这些损失函数和激活函数又该如何选择呢？下面就对DNN损失函数和激活函数的选择做一个总结。

一、均方差损失函数+sigmoid激活函数的问题

在讲反向传播算法时，我们使用均方差损失函数和Sigmoid激活函数做了实例，首先我们就来看看均方差+Sigmoid的组合有什么问题

首先来回顾一下Sigmoid激活函数的表达式为：

（1）

的函数图像如下：

从上图可以看到，对于Sigmoid，当z的取值越来越大后，函数曲线变得越来越平缓，意味着此时的倒数越来越小（导数的几何意义就是切线斜率，可以看到切线斜率越来越小）。同样，当z的取值越来越小时，也存在这个问题。仅仅当z取值在0附近时，倒数取值较大。

在上篇讲的均方差+Sigmoid的反向传播算法中，每一层向前地推都要乘以，得到梯度变化值。Sigmoid的这个曲线意味着在大多数时候，我们的梯度变化很小，导致我们的W，b更新到极值的速度比较慢，也就是算法收敛比较慢，那么我们有什么办法可以改进呢？

首先我们可以想到，既然是Sigmoid导致的收敛速度比较慢，那我们换一个激活函数不就行了吗？但这也只是一种选择，通常来说，我们是用另一种选择，那就是使用交叉熵损失函数来代替均方差损失函数。

二、使用交叉熵损失函数+Sigmoid激活函数来改经DNN算法收敛速度

首先我们来看每个样本的交叉熵损失函数的形式：

（2）

其中，为向量内积

使用了交叉熵损失函数，就能解决Sigmoid函数导数变化大多数时候反向传播算法慢的问题吗？我们来看看使用交叉熵时，我们输出层的梯度情况：

（3）

求偏导过程中需要注意的推导：

可见此时我们的梯度表达式里面已经没有。作为一个特例，回顾一下在上一篇中提到的均方差损失函数关于的梯度：

（4）

对比两者在第L层的梯度表达式，就可以看出，使用交叉熵，得到的梯度表达式没有了，梯度为预测值和准确值的差距，这样求得的的梯度也不包含，因此避免了反向传播的L层收敛速度漫的问题。

通常情况下，如果我们使用了Sigmoid激活函数，交叉熵肯定要比均方差损失函数好用一些。

注：根据BP算法：

（5）

在后面一层层反向传播时，还是需要计算后面每层的激活函数的导数。那么其实交叉熵损失函数只在输出层L不需要计算激活函数的导数，在后面的层层反向传播计算时还是需要的。所以说这个方法可以一定程度减小梯度消失的问题，并不能完全消除。

三、使用对数似然损失函数和softmax激活函数进行DNN分类输出

前面我们讲的所有DNN相关知识中，我们都假设输出是连续可导的值。但是如果是分类问题，那么输出是一个个的类别，那我们怎么用DNN来解决这个问题呢？

比如假设我们有一个三个类别的分类问题，这样我们的DNN输出层应该有三个神经元，假设第一个神经元对应类别一，第二个对应类别二，第三个对应类别三，这样我们期望的输出应该是(1,0,0)，（0,1,0）和(0,0,1)这三种。即样本真实类别对应的神经元输出应该无限接近或者等于1，而非真实类别样本对应的神经元的输出应该无限接近或者等于0。或者说，我们希望输出层的神经元对应的输出是若干个概率值，这若干个概率值即我们DNN模型对于输入值对于各类别的输出预测，同时为满足概率模型，这若干个概率值之和应该等于1。

DNN分类模型要求是输出层神经元输出的值在0到1之间，同时所有输出值之和为1。很明显，现有的普通DNN是无法满足这个要求的。但是我们只需要对现有的全连接DNN稍作改良，即可用于解决分类问题。在现有的DNN模型中，我们可以将输出层第i个神经元的激活函数定义为如下形式：

（6）

其中是输出层的神经元个数，或者说是我们分类问题的类别数量。

很容易就可以看出，所有的a_i^L都是在（0，1）之间的数字，而作为归一化因子保障了所有的之和为1。

这个方法很简洁漂亮，仅仅只需要将输出层的激活函数从Sigmoid之类的函数转变为上式的激活函数即可。上式这个激活函数就是我们的softmax激活函数。它在多分类问题中有广泛的应用。

下面这个例子清晰地描述了softmax激活函数在前向传播算法时的使用。假设我们的输出层为三个神经元，而未激活的输出为3,1和-3，我们求出各自的指数表达式为：20,2.7和0.05，我们的归一化因子即为22.75，这样我们就求出了三个类别的概率输出分布为0.88，0.12和0。

用纸笔计算也很简单：

概率计算（激活）：

从上面可以看出，将softmax用于前向传播算法是很简单的。那么在反向传播算法时还简单吗？反向传播的梯度好计算吗？答案是Yes！

对于用于分类的softmax激活函数，对应的损失函数一般都是用对数似然函数，即：

（7）

其中的取值为0或者1，如果某一训练样本的输出为第i类，则 = 1，其余的都有。由于每个样本只属于一个类，所以这个对数似然函数可以简化为：

（8）

其中i为训练真实样本的类别序号。

可见损失函数只和真实类别对应的输出有关，这样假设真实类别是第i类，则其它不属于第i类序号对应的设计院的梯度导数直接为0.对于真实类别第i类，对应的第j个w链接对应的梯度为：

（9）

这里需要补充一下：最后一层的激活函数是softmax函数，因此才会有上述公式的形式，也就是说，只有对于做softmax激活的神经元的前面的权重W才会有（9）的梯度形式。再往前的神经元，可以是其他的激活函数。

同样的可以得到的梯度表达式为：

（10）

当然，1输出层的梯度为：

（11）

其中i为样本真实类别。可见，梯度计算也很简洁，也没有第一节说的训练速度慢的问题。

观察公式（11），得出一个结论：对于真实类别位置，反向传播的梯度是要-1，而不是真实类别的位置，反向传播的梯度为0。

举个例子，假如我们对于第2类的训练样本，通过前向算法计算的未激活输出为（1,5,3），则我们得到softmax激活后的概率输出为：(0.015,0.866,0.117)。由于我们的类别是第二类，则反向传播的梯度应该为：(0.015,0.866-1,0.117)。

当softmax输出层的反向传播计算完以后，后面的普通DNN层的反向传播计算和之前讲的普通DNN没有区别。

四、梯度爆炸梯度消失与ReLU激活函数

学习DNN，大家一定听说过梯度爆炸和梯度消失两个词。尤其是梯度消失，是限制DNN与深度学习的一个关键障碍，目前也没有完全攻克。

什么是梯度爆炸和梯度消失呢？从理论上说都可以写一篇论文出来。不过简单理解，就是在反向传播的算法过程中，由于我们使用了是矩阵求导的链式法则，有一大串连乘，如果连乘的数字在每层都是小于1的，则梯度越往前乘越小，导致梯度消失，而如果连乘的数字在每层都是大于1的，则梯度越往前乘越大，导致梯度爆炸。

比如我们之前看到的的计算：

如果不巧我们的样本导致每一层都小于1，则随着反向传播算法的进行，我们的会随着层数越来越小，甚至接近于0，导致梯度几乎消失，进而导致前面的隐藏层的W，b参数随着迭代的进行，几乎没有很大的改变，更谈不上收敛了。这个问题目前还没有完美的解决办法。

而对于梯度爆炸，则一般可以通过调整我们DNN模型中的初始化参数得以解决。

对于无法完美解决的梯度消失问题，目前有很多研究，一个可能部分解决梯度消失问题的办法是使用ReLU（Rectified Linear Unit）激活函数，ReLU在卷积神经网络CNN中得到了广泛的应用，在CNN中梯度消失似乎不再是问题。那么它是什么样子呢？其实很简单，比我们前面提到的所有激活函数都简单，表达式为：

也就是说大于等于0则不变，小于0则激活后为0。就这么一玩意就可以解决梯度消失？至少部分是的。具体的原因现在其实也没有从理论上得以证明。

五、DNN其他激活函数

除了上面提到的激活函数，DNN常用的激活函数还有：

（1）tanh：这个是sigmoid的变种，表达式为：

tanh激活函数和Sigmoid激活函数的关系为：

tanh和sigmoid对比主要的特点是它的输出落在了[-1,1],这样输出可以进行标准化。同时tanh的曲线在较大时变得平坦的幅度没有sigmoid那么大，这样求梯度变化值有一些优势。当然，要说tanh一定比sigmoid好倒不一定，还是要具体问题具体分析。

（2）softplus：这个就是sigmoid函数的原函数，表达式为

它的导数就是Sigmoid函数，softplus的函数图像与ReLU类似。他出现的比ReLU更早，可视为ReLu的鼻祖。

（3）PReLU：从名字就可以看出它是ReLU的变种，特点是如果未激活值小于0，不是简单粗暴的直接变为0，而是进行一定幅度的缩小。如下图。当然，由于ReLU的成功，有很多的跟风者，有其他各种变种ReLU，这里就不多提了。

六、DNN损失函数和激活函数小结：

上面我们对DNN损失函数和激活函数做了详细的讨论，重要的点有：

（1）如果使用sigmoid激活函数，则交叉熵损失函数一般肯定比均方差损失函数好。

（2）如果是DNN用于分类，则一般在输出层使用softmax激活函数和对数似然损失函数。

（3）ReLU激活函数对梯度消失问题有一定程度的解决，尤其是在CNN模型中。

（4）对于梯度爆炸的问题，一般可以通过调整DNN初始化参数来解决。

以上内容学习参考自刘建平Pinard-博客园的笔记，学习并加入了个人理解