10分钟让你看懂一个数学应用的真实案例!

数学建模

谁用谁知道

前几天超模君再次收到沈林兴老师的邮件，邮件的几句话让超模君实为感动：

分享两字正是超级数学建模的理念！遥想创办超级数学建模至今，已有3个年头，一路上坚持下来，除了兴趣，还有各位模友大大的支持。

在此超模君向各位模友表示衷心的感谢，也感谢一直以来投稿给超级数学建模的各位老师们（沈林兴老师，崔继峰老师，王向东老师，林开亮老师、杨夕歌博士、李伟同学等等）。

此时，超模君还为投稿的模友准备超模君专属定制礼品，约吗？（来稿请戳：supermodeling@163.com）

作者：沈林兴

超级数学建模资深读者

文章来源：投稿

某机构对前几年收到的大量电子邮件做了分类，提取了邮件中的一些关键词，并做了统计。

假设三类邮件---工作邮件、一般邮件和垃圾邮件的比例(概率)分别为P1、P2、P3，（P1+P2+P3=1），第 i 类邮件每百封中含有关键词 j 的邮件数（出现关键词 j 的比例或概率）为 Pij 。

试问，关键词j在电子邮件中出现的概率是多少？如果一封新邮件中出现了关键词j，则该邮件属于垃圾邮件的概率是多少？

这是一个简化的问题，旨在研究如何自动识别垃圾邮件（如果某新邮件属于垃圾邮件的概率超过了预设的某个阈值，该邮件就被判定为垃圾邮件，自动放到垃圾信箱中，拒绝接收）。

虽然上述问题不难通过条件概率公式、全概率公式和逆概率公式推导并计算出结果，但对于大多数工作人员来说，对解答过程的理解还是有困难的。

为此，我们可以建立如下的数学模型：

上述模型中，从“电子邮件”到“关键词 j ”有三条路径，每条路径上有两段随机事件（第2段事件是在第1段事件发生条件下的随机事件）。

在该例中，我们可以将全概率公式和逆概率公式（贝叶斯公式）按如下方式来理解：

任一封电子邮件中，出现关键词j的概率等于从“电子邮件”到“关键词 j ”的所有路径的概率之和（全概率公式），而每条路径上的概率等于该路径上各段概率之积（条件概率公式）。

所以，电子邮件中出现关键词 j 的概率为：

P1*P1j +P2*P2j + P3*P3j

如果一封新的电子邮件中出现关键词 j ，则该电子邮件属于垃圾邮件的概率等于从电子邮件到关键词 j 的三条路径中走垃圾邮件路径的比例：

所以，出现关键词j的邮件属于垃圾邮件的概率=P3*P3j /（P1*P1j +P2*P2j + P3*P3j）

该结论通俗易懂，也便于记忆。

上述数学建模是隐蔽的，课堂上、书上都没有说。

该模型只有两层：邮件类和关键词。对于更复杂的情况（层次更多，每层上的项数也更多，各层之间的关系更复杂时），这种模型就更显出其威力。

以这种隐蔽的数学模型来理解和计算实际问题，使人感觉更能看透本质，掌握得更彻底，计算得更轻松，而且永生难忘。

该例也有利于对贝叶斯公式的深刻理解。逆概率公式基于全概率公式，但其应用却发生了奇特的飞跃。

全概率公式只是对已有的数据做统计，贝叶斯公式却能对新事物进行推断！（例如，用来自动识别垃圾邮件。）

这正是它在大数据处理、机器学习中大放光彩的原因。

上述数学模型实际上是横向的层次模型（在动态规划和神经网络中则是显式应用的）。

类似的数学模型在多元复合函数求导数时也十分有效。

设w是x,y,z的函数；x是u,v, s的函数；y是u,v的函数； z是u,v,t的函数；u,v都是s,t的函数，求w对t的偏导数。

为此，我们可以建立如下的数学模型：

从w到t的路径有七条：w-x-u-t, w-x-v-t, w-y-u-t,w-y-v-t, w-z-u-t, w-z-v-t, w-z-t。

w对t的偏导数等于各条路径上的导数之和，每条路径上的导数等于该条路径上各段偏导数之积。因此，

该模型的建立也是隐蔽的，教科书上没有明说。在这种隐蔽模型的支持下，麻烦的计算也就变得非常直观，不容易出错了。

上述两个不同领域中的问题居然采用了非常类似的模型。这说明其中蕴涵着某种共同的规律；也启发我们在学习过程中，应有拓展性思维；也提示我们在教学和研究过程中，有必要采用可视化、可释化、通俗化方法。

数学家常从平凡中提取规律，教师则需要将规律再转化为平凡，生动地讲好数学故事。这种认识上的回归属于螺旋式上升，更上一层楼。台面上（书本上）的严谨甚至刻板与台面下的白话俗解相辅相成。

这也是华罗庚导师所倡导的“从薄到厚，再从厚到薄”的读书、思考和研究方法。

本文由超级数学建模编辑整理

部分资料来源于网络

转载请在公众号中，回复“转载”

-----这里是数学思维的聚集地------

“超级数学建模”（微信号supermodeling），每天学一点小知识，轻松了解各种思维，做个好玩的理性派。30万数学精英都在关注！

商务合作请加微信zwz2434