一、卷积的概念

卷积来源于英文的Convolution，其中Con是积分，vol是转、卷。

卷积是一种数学运算，常用于信号处理和图像处理等领域，它用简单的数学形式，描述了一个动态的过程。

卷积的定义如下（这个复杂的公式，在卷积神经网络中可能是用不到）：

设 f 和 g 是两个定义在实数域上的函数，它们的卷积 f?g 定义为：

其中 t 为实数，τ 是积分变量。

在离散形式下，如果 f 和 g 是两个长度为 n 的向量，它们的卷积 f?g 定义为：

其中 k 是整数，[i] 表示向量 f 的第 i 个元素。

二、神经网络中的卷积

1. 神经网络卷积概念

在卷积神经网络中，卷积操作是一种特殊的线性变换，卷积核（也称为滤波器）在输入数据上进行滑动，每次计算与卷积核重叠部分的点乘和。
这样的操作可以提取输入数据的局部特征，实现特征的共享和抽象，从而使得网络对输入数据的变化更加鲁棒和准确。

2. 卷积核

卷积核是一种可学习的滤波器，用于对输入图像进行特征提取。卷积核通常是一个小的二维矩阵，其大小通常为 k×k，其中 k 是一个正整数，称为卷积核大小。卷积核的值通常是由神经网络自动学习得到的。

卷积核的作用是提取输入数据的局部特征。在卷积操作中，卷积核可以识别输入图像中的不同特征，例如边缘、纹理、角落等，从而提取更加高级的特征表示。通过使用多个卷积核，可以提取不同类型的特征，形成更加复杂的特征表示，进而提高模型的性能。

不同的卷积核（即采用不同的二维矩阵）可以实现不同的效果，常见的卷积核有：

• Sobel卷积核：边缘检测；
• Scharr卷积核：也是边缘检测卷积核，比Sobel更加平滑；
• Laplacian 卷积核：用于检测图像中的边缘和角点，具有旋转不变性和尺度不变性；
• 高斯卷积核：用于图像平滑，减少图像中的噪声和细节信息；
• 梯度卷积核：用于检测图像中的梯度信息，如水平和垂直方向的梯度；
• Prewitt 卷积核：用于检测图像中的边缘信息，与 Sobel 卷积核类似，但效果略差 ；
• Roberts 卷积核：用于检测图像中的边缘信息，与 Sobel 卷积核类似，但计算速度更快，精度稍低；
• LoG 卷积核：Laplacian of Gaussian 卷积核，是 Laplacian 卷积核和高斯卷积核的组合，用于检测图像中的边缘和斑点。

3. 卷积核大小

卷积核的大小是卷积神经网络中的一个超参数，通常与输入数据的尺寸以及需要提取的特征的大小有关。在卷积神经网络中，卷积核的大小通常比较小，例如常见的卷积核大小为 3 或 5，因为较小的卷积核可以更好地保留输入图像中的局部特征。

同时，卷积核的大小也需要根据卷积操作的步幅和填充等超参数进行选择。在后面例子中，卷积核大小为 3，步幅为 1，填充为 1，即每次卷积操作会对输入图像中的 3 × 3 3\times33×3 的区域进行处理，并生成一个相同大小的卷积特征。填充的目的是为了保留输入图像的边缘信息，以避免在卷积操作中丢失像素。

需要注意的是，卷积核大小的选择需要根据具体问题进行调整，通常需要通过实验来确定最佳的超参数。

三、实现一个简单的卷积功能

1. 卷积函数

import numpy as np
from PIL import Image

def convolve(image, kernel):
    # 获取图像和卷积核的大小
    image_rows, image_cols = image.shape
    kernel_rows, kernel_cols = kernel.shape

    # 计算输出图像的大小
    output_rows = image_rows - kernel_rows + 1
    output_cols = image_cols - kernel_cols + 1

    # 初始化输出图像矩阵，全零的矩阵
    output = np.zeros((output_rows, output_cols))

    # 执行卷积操作
    for row in range(output_rows):
        for col in range(output_cols):
            output[row, col] = np.sum(image[row:row + kernel_rows, col:col + kernel_cols] * kernel)

    return output

自定义的卷积函数接收两个参数：

• image： 输入图像
• kernel： 卷积核

卷积使用 valid 卷积的方式，在进行卷积操作时，输出图像的尺寸会变小，计算公式是：
(image_rows - kernel_rows + 1, image_cols - kernel_cols + 1)

程序使用两个嵌套的循环遍历输出图像的每个像素，并计算该像素对应的卷积结果。
np.sum函数中的参数 image 对输入图像进行切片，矩阵会进行逐元素相乘（Hadamard乘积或元素级乘积）。image[row:row + kernel_rows, col:col + kernel_cols] 和kernel的大小都是 kernel_rows x kernel_cols， 相乘结果返回一个相同形状的矩阵。

2. 边缘检测卷积核调用示例

# 加载图像
img = np.array(Image.open('lena_gray.jpg').convert('L'))

# 定义卷积核
kernel = np.array([[1, 1, 1], [0, 0, 0], [-1, -1, -1]])

# 执行卷积操作
output = convolve(img, kernel)

# 保存输出图像
output_img = Image.fromarray(np.uint8(output))
output_img.save('lena_gray_convolved.jpg')

示例的卷积核是一个简单的边缘检测器，用于检测图像中的边缘。

这里加载一张灰度图：

程序输出结果如下 ：

3. 高斯卷积核示例

# 加载图像
img = np.array(Image.open('lena_gray.jpg').convert('L'))

# 定义卷积核
def gaussian_kernel(size, sigma):
    x, y = np.mgrid[-size:size+1, -size:size+1]
    g = np.exp(-((x**2 + y**2)/(2.0*sigma**2)))
    return g / g.sum()

kernel = gaussian_kernel(3, 1.5)

# 执行卷积操作
output = convolve(img, kernel)

# 保存输出图像
output_img = Image.fromarray(np.uint8(output))
output_img.save('lena_gray_convolved.jpg')

输出结果：

四、PyTorch计算卷积

1. 生成单通道图像调用卷积

（1）生成单通道图像torch.randn(1, 1, 28, 28)

下面用torch.randn(1, 1, 28, 28) 来生成随机数的 PyTorch 函数，它返回一个大小为 (1, 1, 28, 28) 的张量。其中每个参数的具体含义如下：

1. 第一个参数 1 表示生成的张量的 batch size（批大小）为 1。
2. 第二个参数 1 表示生成的张量的通道数为 1（单通道图像）。
3. 第三个参数 28 表示生成的张量的高度为 28。
4. 第四个参数 28 表示生成的张量的宽度为 28。
   torch.randn(1, 1, 28, 28) 返回的张量可以看作是大小为 1x28x28 的单通道图像，每个像素的值是从标准正态分布（均值为 0，方差为 1）中随机采样得到的。

（2）卷积层

nn.Conv2d 是 PyTorch 中用于定义卷积层的类。
代码nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=16, kernel_size=3, padding=1) 表示创建一个卷积层对象 conv_layer，参数的含义如下：

1. in_channels=1 表示输入通道数为 1，即输入的是单通道的图像。
2. out_channels=16 表示输出通道数为 16，即卷积核的数量为 16；卷积核的数量是一个经验值，需要根据实际情况进行调整，并且会对模型的运行速度和内存占用等方面产生影响。过多的卷积核会导致模型更加复杂，需要更多的计算和存储资源，而过少的卷积核可能无法充分提取输入数据的特征。。
3. kernel_size=3 表示卷积核大小为 3×3。
4. padding=1 表示在输入的每个边缘填充 1 个零。这样做的目的是为了保持输入输出大小相同，即输出特征图的大小与输入特征图的大小相同。如果不进行填充操作，则卷积核会“越过”图像的边缘像素，从而导致输出特征图的大小减小。

最终，可以通过调用 conv_layer(input_data) 来实现卷积操作，其中 input_data 是输入的数据，卷积操作的结果将作为函数返回值。

import torch
import torch.nn as nn

# 创建一个大小为 28*28 的单通道图像
input_data = torch.randn(1, 1, 28, 28)  # 一个大小为28x28的单通道图像

# 创建卷积层，输入通道数为 1
# 输出通道数16
# 卷积核大小3*3
# 1个0填充
conv_layer = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=16, kernel_size=3, padding=1)

# 对输入数据进行卷积操作
output_data = conv_layer(input_data)

# 输出结果
print(output_data.shape)  # (1, 16, 28, 28)

卷积后得到了 1个批次、16 个大小为 28 × 28 28\times2828×28 的特征图。

2. 加载灰度图像进行卷积操作

下面示例中，卷积结果 [batch_size, channel,height,width] 会进行降维操作，以便于可视化显示。
最后会使用 Image.fromarray ，将数组转为图片显示出来。

import torch.nn as nn
import torchvision.transforms as transforms
from PIL import Image
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读入示例图片
img = Image.open('lena_gray.jpg').convert('L')  # 将示例图片转换为灰度图
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.show()

# 将图片转换为张量并增加一个维度作为批次维度
img_tensor = transforms.ToTensor()(img).unsqueeze(0)

# 创建卷积层，输入通道数为 1，输出通道数1，卷积核大小3*3，1个0填充
conv_layer = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=3, padding=1)

# 对输入数据进行卷积操作
output_tensor = conv_layer(img_tensor)
print(output_tensor.shape)
# 输出 torch.Size([1, 1, 426, 397])

# 将卷积结果转换为numpy数组并移除批次维度
output_np = output_tensor.squeeze(0).squeeze(0).detach().numpy()
print(output_np.shape)

# 输出 (426, 397)
# 将卷积结果转换为灰度图像
output_img = Image.fromarray(np.uint8(output_np * 255), mode='L')

# 将卷积结果保存为图片
output_img.save('output.jpg')

# 使用Matplotlib库展示卷积结果
output_mat = plt.imread('output.jpg')
plt.imshow(output_mat, cmap='gray')
plt.show()

输出：

3. 对彩色图片卷积，输出1通道

对彩色图片进行卷积，要把输入通道数改为3，加载时选择RGB：

import torch.nn as nn
import torchvision.transforms as transforms
from PIL import Image
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读入示例彩色图片
img = Image.open('lena_color.png').convert('RGB')
plt.imshow(img)
plt.show()

# 将图片转换为张量并增加一个维度作为批次维度
img_tensor = transforms.ToTensor()(img).unsqueeze(0)

# 创建卷积层，输入通道数为 3，输出通道数1，卷积核大小3*3，1个0填充
conv_layer = nn.Conv2d(in_channels=3, out_channels=1, kernel_size=3, padding=1)

# 对输入数据进行卷积操作
output_tensor = conv_layer(img_tensor)
print(output_tensor.shape)

# 将卷积结果转换为numpy数组并移除批次维度
#output_np = output_tensor.squeeze(0).squeeze(0).detach().numpy()
#print(output_np.shape)

# 将卷积结果转换为灰度图像
#output_img = Image.fromarray(np.uint8(output_np * 255), mode='L')
output_np = output_tensor.squeeze(0).detach().numpy()  # 形状为 (C, H, W)
output_np = np.repeat(output_np, 3, axis=0)  # 将通道数由 1 改为 3
output_np = np.expand_dims(output_np, axis=1)  # 添加一个新的维度
output_img = transforms.ToPILImage()(output_np)  # 转换为 PIL.Image 对象

# 将卷积结果保存为图片
output_img.save('output.jpg')

# 使用Matplotlib库展示卷积结果
output_mat = plt.imread('output.jpg')
plt.imshow(output_mat, cmap='gray')
plt.show()

输入：

卷积结果：

4. 输出3通道的卷积操作

import torch.nn as nn
import torchvision.transforms as transforms
from PIL import Image
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读入示例图片
img = Image.open('lena_color.png').convert('RGB')
plt.imshow(img)
plt.show()

# 将图片转换为张量并增加一个维度作为批次维度
img_tensor = transforms.ToTensor()(img).unsqueeze(0)

# 创建卷积层，输入通道数为3，输出通道数为3，卷积核大小3*3，1个0填充
conv_layer = nn.Conv2d(in_channels=3, out_channels=3, kernel_size=3, padding=1)

# 对输入数据进行卷积操作
output_tensor = conv_layer(img_tensor)
# 这时的形状是 torch.Size([1, 3, 726, 724])

# # 将卷积结果转换为图像
output_np = output_tensor.squeeze(0).detach().numpy()  # 形状为 (C, H, W)
# 这时的形状 (3, 726, 724)
output_np = np.transpose(output_np, (1, 2, 0))  # 转置使得颜色通道在最后一个维度
# 这时的形状 (726, 724, 3)
# 为了转为图像，下面要对数据处理，传入的 numpy 数组中的数据类型不是 uint8 类型。
# 由于 transforms.ToPILImage() 只支持 uint8 类型的数据，要把 float32 类型的 numpy 数组缩放到 0-255 的范围，并转换为 uint8 类型。 np.clip 函数和 np.uint8 来实现此功能
# 如果输出1通道，ToPILImage会转成unit8数据，但输出3通道时候是转成float32，需要自己加转换
output_np = np.clip(output_np * 255, 0, 255).astype(np.uint8)
# 这时形状没有发生变化 (726, 724, 3)
output_img = transforms.ToPILImage()(output_np)  # 转换为 PIL.Image 对象


# 展示卷积结果
plt.imshow(output_img)
plt.show()

输出：