一、二叉树

1、基本概念

树（tree）是n（n>=0）个结点的有限集，只有一个根节点，子树的数目没有限制，但一定是不想交的。树的定义用子递归的方式。节点的度：节点拥有子树的数目。

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。

二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树 。

没有父节点的节点叫做根节点，图中F为根节点，C为A和D的父节点，A、D、H、G互为兄弟节点，没有子节点的节点叫做叶子节点或者叶节点，A 、B 、H、 M都是叶子节点。

小结：二叉树可以是空树（n>=0）。
二叉树特点：每个节点最多两颗子树，左子树，右子树（互不相交）；左子树和右子树是有顺序的；即便树中某个节点只有一颗子树也要区分它是左子树还是右子树。

2、树的三个重要概念：高度（Height）、深度（Depth）、层（Level）

3、树的特殊类型

• 满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树 。
• 完全二叉树：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称为完全二叉树 。
• 左斜树 ：所有节点都只有左子树
• 右斜树 ：所有节点都只有右子树
  
  

小结：完全二叉树的特点：是叶子结点只可能出现在最下层或次下层；最下层叶子节点集中在树的左部；同样节点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
满二叉树特点：是所有分支都有左子树和右子树，所有叶子节点都在最底层；满二叉树一定是完全二叉树，反过来不一定成立。

4、二叉树的存储

一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法 ，一种是基于数组的顺序存储法 。

1) 顺序存储

就是使用一维数组存储二叉树中节点，并且节点的存储位置就是数组的下标索引。

可以看出完全二叉树适合采用顺序存储结构。非完全二叉树会浪费一部分存储空间,极端情况下,右斜树会超级浪费空间。

2） 链式存储
二叉树每个节点有两个孩子，因此将节点数据结构定义为一个数据和两个指针域。

小结：二叉树有两种存储方式，分别是顺序存储和链式存储。顺序存储适合完全二叉树，非完全二叉树的顺序存储会造成空间的相对浪费，所以转为链式存储。相对来说链式存储法我们比较常用。

5、二叉树的遍历

经典的方法：前序遍历、中序遍历和后序遍历。另外还有层次遍历。每个节点遍历一次，n个节点，遍历的时间复杂度都是 O(n)。

前序遍历（根左右）：A->B->D->E->C->F
中序遍历（左根右）：D->B->E->A->F->C
后序遍历（左右根）：D->E->B->F->C->A
前中后序遍历也可以看做树的深度优先搜索（DFS）；

层次遍历（按照高度一层一层访问）：A->B->C->D->E->F
层次遍历也可以看做树的宽度优先搜索（BFS）；

代码实现此处先不描述，可另行查找理解，递归法，迭代法处理等。

小结：已知前序和中序遍历，或者已知中序和后序遍历都可以确定二叉树。前序遍历第一个访问的根节点，中序遍历根节点在中间，后序遍历最后访问根节点。

二、二叉查找树（二叉排序树）

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。
二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。
特别是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，相当于升序排列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

三、散列表和二叉查找树区别

第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。

第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。

第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。

综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

四、红黑树

1、红黑树特点：

• 根节点是黑色的； 每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；
• 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；
• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；

2、红黑树意义：

红黑树是一种平衡二叉查找树。它是为了解决普通二叉查找树在数据更新的过程中，复杂度退化的问题而产生的。

红黑树的高度近似 log2n ，所以它是近似平衡，插入、删除、查找操作的时间复杂度都是 O(logn)。因为红黑树是一种性能非常稳定的二叉查找树，所以，在工程中，但凡是用到动态插入、删除、查找数据的场景，都可以用到它。不过，它实现起来比较复杂。

小结：
散列表：插入删除查找都是O(1), 是最常用的，但其缺点是不能顺序遍历以及扩容缩容的性能损耗。适用于那些不需要顺序遍历，数据更新不那么频繁的。
跳表：插入删除查找都是O(logn), 并且能顺序遍历。缺点是空间复杂度O(n)。适用于不那么在意内存空间的，其顺序遍历和区间查找非常方便。
红黑树：插入删除查找都是O(logn), 中序遍历即是顺序遍历，稳定。缺点是难以实现，去查找不方便。其实跳表更佳，但红黑树已经用于很多地方了。

** 3、红黑树的平衡调整：**
调整的过程包含两种基础的操作：左右旋转和改变颜色，相对比较复杂，此处不过多描述。