CSP-J/S复赛算法复习:图论算法基础模板

图论算法基础模板

图的存储

1. 邻接矩阵：

在邻接矩阵中，使用二维数组 g[a][b] 来表示边 a->b。

2. 邻接表：

对于每个点 k，开一个单链表，存储所有可以从 k 出发到达的点。h[k] 存储这个单链表的头结点。

添加一条边 a->b 时，将 b 添加到以 a 为头结点的链表中。

对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点

int h[N], e[N], ne[N], idx;

添加一条边a->b

void add(int a, int b)

{

e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;

}

初始化

idx = 0;

memset(h, 0x127, sizeof h);

这种存储方式对于表示树和图都是有效的，通过邻接表的形式可以灵活地添加和删除边，适用于各种图论算法的实现。

图的遍历

(1)深度优先搜索 (DFS)

深度优先搜索是一种通过递归或栈实现的遍历算法。从起始顶点开始，尽可能深地访问每个顶点，直到到达终点或无法继续深入。

算法步骤：

从起始顶点开始，将其标记为已访问。

对于起始顶点的每个邻接顶点，如果该邻接顶点未被访问，则递归调用 DFS 函数进行访问。

重复步骤 2，直到无法继续深入为止。

时间复杂度：O(n+m)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

深度优先遍历 (DFS)

void dfs(int u)

{

st[u] = true; // st[u] 表示点 u 已经被遍历过

for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])

{

int j = e[i];

if (!st[j]) dfs(j);

}

}

(2)宽度优先搜索 (BFS)

宽度优先搜索是一种通过队列实现的遍历算法。从起始顶点开始，逐层地访问与其相邻的顶点，确保每个顶点只被访问一次。

算法步骤：

将起始顶点放入队列，并标记为已访问。

从队列中取出一个顶点，并访问其所有未被访问的邻接顶点，将其放入队列并标记为已访问。

重复步骤 2，直到队列为空。

时间复杂度：O(n+m)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

宽度优先遍历 (BFS)

queue<int> q;

st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过

q.push(1);

while (!q.empty())

{

int t = q.front();

q.pop();

for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])

{

int j = e[i];

if (!st[j])

{

st[j] = true; // 表示点 j 已经被遍历过

q.push(j);

}

}

}

拓扑排序

拓扑排序是对有向无环图进行排序的算法，它确定顶点的线性顺序，使得对于图中的每一对有向边 (u, v)，顶点 u 都排在顶点 v 的前面。

算法步骤：

计算每个顶点的入度，即指向该顶点的边的数量。

将所有入度为 0 的顶点加入拓扑序列，并将与这些顶点相邻的边的入度减 1。

重复步骤 2，直到所有顶点都加入拓扑序列或者不存在入度为 0 的顶点为止。

时间复杂度：O(n+m)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

bool topsort()

{

int hh = 0, tt = -1;

// d[i] 存储点 i 的入度

for (int i = 1; i <= n; i ++ )

if (!d[i])

q[++tt] = i;

while (hh <= tt)

{

int t = q[hh ++ ];

for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])

{

int j = e[i];

if (-- d[j] == 0)

q[++tt] = j;

}

}

// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。

return tt == n - 1;

}

Dijkstra算法

朴素 Dijkstra 算法是一种贪心算法，用于求解单源最短路径问题。从起始顶点开始，每次选择距离最短的顶点进行扩展，并更新其他顶点的距离。

算法步骤：

初始化距离数组，将起始顶点到其他顶点的距离初始化为无穷大。

将起始顶点的距离设置为 0，并将其加入集合。

对于集合中的每个顶点，更新其相邻顶点的距离。

重复步骤 3，直到集合为空。

时间复杂度：O(n2+m)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

int dijkstra()

{

memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

dist[1] = 0;

for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )

{

int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点

for (int j = 1; j <= n; j ++ )

if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))

t = j;

// 用 t 更新其他点的距离

for (int j = 1; j <= n; j ++ )

dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);

st[t] = true;

}

if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;

return dist[n];

}

堆优化版Dijkstra算法

堆优化 Dijkstra 算法是一种改进的 Dijkstra 算法，旨在加快寻找当前距离最小的顶点的过程。通过使用优先队列（通常实现为最小堆），算法可以在每次迭代中快速找到下一个最优的顶点，而不是遍历所有顶点进行比较。

算法步骤：

初始化距离数组， 将所有顶点的距离初始化为无穷大，表示当前距离未知。

将起始顶点加入优先队列， 将起始顶点的距离设置为 0，并将其加入优先队列中。

从优先队列中取出距离最小的顶点，每次从优先队列中取出距离最小的顶点，这个顶点的距离已经确定为最小值。

更新相邻顶点的距离，对于当前顶点的所有相邻顶点，如果通过当前顶点到达它们的路径比已知的距离更短，则更新它们的距离，并将其加入优先队列中。

重复步骤 3 和步骤 4：不断从优先队列中取出距离最小的顶点，并更新其相邻顶点的距离，直到优先队列为空。

时间复杂度：O(mlogn)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

int dijkstra()

{

memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

dist[1] = 0;

priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;

heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号

while (!heap.empty())

{

auto t = heap.top();

heap.pop();

int ver = t.second, distance = t.first;

if (st[ver]) continue;

st[ver] = true;

for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])

{

int j = e[i];

if (dist[j] > distance + w[i])

{

dist[j] = distance + w[i];

heap.push({dist[j], j});

}

}

}

if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;

return dist[n];

}

Floyd算法

Floyd算法是一种经典的多源最短路径算法，用于求解图中任意两点之间的最短路径。其核心思想是动态规划，通过中转点的引入逐步优化路径的长度。

算法步骤：

初始化任意两点之间的最短路径长度。

逐步考虑每个点作为中转点时，更新任意两点之间的最短路径长度。

重复步骤2，直到所有点都考虑过。

Floyd算法的核心操作是三重循环，分别遍历所有点对和中转点，通过比较经过中转点和不经过中转点的路径长度来更新最短路径。

时间复杂度：O(n^3)，其中 n 表示点数。

void floyd()

{

for (int k = 1; k <= n; k ++ )

for (int i = 1; i <= n; i ++ )

for (int j = 1; j <= n; j ++ )

d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

}

朴素版Prim算法

Prim算法是一种用于求解最小生成树的贪心算法，其基本思想是从一个初始点出发，逐步选取与当前最小生成树连接的最短边所连接的点，直到所有点都被连接为止。

算法步骤：

选择一个初始点作为最小生成树的根节点。

从已选取的点集合中选取与之相邻的边中权值最小的边所连接的点，加入到最小生成树中。

重复步骤2，直到所有点都被加入到最小生成树中。

Prim算法可以通过邻接矩阵或邻接表来实现。邻接矩阵的实现简单直观，但对于稀疏图效率较低，而邻接表适合稀疏图的情况。

时间复杂度：O(n2+m)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

int prim()

{

memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

int res = 0;

for (int i = 0; i < n; i ++ )

{

int t = -1;

for (int j = 1; j <= n; j ++ )

if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))

t = j;

if (i && dist[t] == 0x3f3f3f3f) return INF;

if (i) res += dist[t];

st[t] = true;

for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);

}

return res;

}

Kruskal算法

Kruskal算法是一种用于求解最小生成树的贪心算法，其基本思想是先将所有边按照权值从小到大排序，然后逐步选取权值最小且不构成环的边加入到最小生成树中。

算法步骤：

将所有边按照权值从小到大排序。

依次考虑每条边，如果该边连接的两个端点不在同一连通块中，则将该边加入到最小生成树中，并将两个端点合并为一个连通块。

重复步骤2，直到所有点都被连接为止。

Kruskal算法通常使用并查集来实现，用于判断两个点是否属于同一个连通块，并在加入边时实现快速的合并操作。

时间复杂度：O(mlogm)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

int kruskal()

{

sort(edges, edges + m);

for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集

int res = 0, cnt = 0;

for (int i = 0; i < m; i ++ )

{

int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

a = find(a), b = find(b);

if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并

{

p[a] = b;

res += w;

cnt ++ ;

}

}

if (cnt < n - 1) return INF;

return res;

}

染色法判别二分图

染色法是一种用于判别图是否为二分图的常用算法。二分图是一种特殊的图，可以将所有节点分为两个不相交的集合，并且图中的每条边都连接一端点属于其中一个集合，另一端点属于另一个集合。染色法通过遍历图中的节点，并对每个节点进行染色，使得相邻节点的颜色不同，如果成功染色，则说明图是二分图。

算法步骤：

从任意一个未染色的节点开始，将其染色为0。

遍历该节点的所有相邻节点，如果相邻节点未被染色，则将其染色为与当前节点不同的颜色（比如1）。

对相邻节点递归执行步骤2。

如果在染色的过程中出现了相邻节点颜色相同的情况，则说明图不是二分图。

染色法的时间复杂度为O(n+m)，其中n表示节点数，m表示边数。它的实现比较简单，通常使用递归或队列等方式进行遍历和染色操作。

时间复杂度：O(n+m)，其中 n 表示点数，m 表示边数。

bool dfs(int u, int c)

{

color[u] = c;

for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])

{

int j = e[i];

if (color[j] == -1)

{

if (!dfs(j, !c)) return false;

}

else if (color[j] == c) return false;

}

return true;

}

bool check()

{

memset(color, -1, sizeof color);

bool flag = true;

for (int i = 1; i <= n; i ++ )

if (color[i] == -1)

if (!dfs(i, 0))

{

flag = false;

break;

}

return flag;

}