定形，定性，定量——2022年湖州中考数学第24题

定形，定性，定量——2022年湖州中考数学第24题

对于几何综合题中的动态图形，当满足某个条件时，它是静态，而这个条件下，多数伴随有特殊位置或特殊数量关系，而我们研究的，正是图形形状、图形性质和数量之间的关系，一旦形状、性质、数量三者中确定一个，则其余二者也相应确定，如果将之视为“变量”，也可认为是一个“变量”发生改变，影响其余两个“变量”的问题。

题目

已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b，记△ABC的面积为S.

(1)如图1，分别以AC，CB为边向外作正方形ACDE和正方形BGFC，记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2.

①若S1=9，S2=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连接FN，交BC于点M，交AB于点H，若FH⊥AB(如图2所示)，求证：S2-S1=2S；

(2)如图3，分别以AC，CB为边向外作等边△ACD和等边△CBE，记等边△ACD的面积为S1，等边△CBE的面积为S2，以AB为边向上作等边△ABF(点C在△ABF内)，连接EF，CF，若EF⊥CF，试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由.

解析：

(1)起点较低，也是勾股定理章节中的基本图形，不过赋予了不同的条件及意义；

①由正方形的面积求出边长分别为3和4，即a=4，b=3，所以S=6；

②对于条件FH⊥AB，它起到的作用是固定了图形，确定了NF与AB间的位置关系，所以我们注意到了Rt△NFA，NF是它的斜边，而AB是Rt△ABC的斜边，那么Rt△NFA和Rt△ABC之间是否存在关联？

我们很容易能证明△ABC∽△NFA，于是得到AC:NA=BC:FA，其中AC=b，NA=BC=a，FA=AC+CF=a+b，所以得到乘积式为b(a+b)=a2，整理后得到a2-b2=ab，而S1=b2，S2=a2，S=1/2ab，即2S=ab，最后得到S2-S1=2S；

(2)首先需要引入等边三角形的面积计算公式，即边长的平方乘以√3/4，有兴趣的朋友可以自行推导，并不难。

利用这个公式，立刻得到S1=√3/4·b2，S2=√3/4·a2，于是S2-S1=√3/4·(a2-b2)，而S=1/2ab，看上去并不太好找它们间的数量关系，但请注意条件EF⊥CF，这意味着△CEF也是直角三角形，下面我们重点在研究它的形状，如下图：

由等边△ABF和等边△CBE，可得AB=FB，CB=EB，再加上∠ABC+∠CBF=∠FBE+∠CBF=60°，所以∠ABC=∠FBE，得到△ABC≌△FBE，即通常所说的“手拉手”模型；

于是∠FEB=∠ACB=90°，所以∠CEF=90°-60°=30°，△CEF居然是一个含30°角的直角三角形，所以它的边长之间存在特殊数量关系，得到b=√3/2·a；

将这个数量关系代入到S2-S1中，得到S2-S1=√3/4(a2-3a2/4)=√3/16·a2；

然后再表示出S=1/2a·√3/2·a=√3/4·a2；

最后得到S2-S1=1/4S.

解题反思：

对于任意直角三角形，通常情况下我们只知道它有一个直角，这是确定条件，然而其余角、边的条件未知，位置未知。本题第1小题便是基于一般直角三角形，在两直角边外作正方形，这是勾股定理章节中的常见图形，学生第一眼很亲切。

在第2小题中，如果我们依然在任意直角三角形中连接FN，会发现它不一定与AB垂直，而题目条件中却给出了垂直条件，这意味着整个图形的位置相对确定了，边长之间的关系也相对确定了，动态图变成了静态图，所以我们在寻找图形之间关联的时候，多从全等、相似角度去思考，这就是所谓常规常法。

在寻找解题思路的时候，一定要先从已知条件出发，去挖掘它背后的拓展关系，即发散思维。但发展的方向要有约束，不可天马行空，例如第2小题中的条件FH⊥AB，第3小题中的EF⊥CF，本小题各个小题之间，存在一种递进关系，即在解题方法上有相通之处，例如探究的数量关系是S2-S1和S之间，引导学生的思路朝面积方向。

解题模型在本题中的作用是帮助学生快速找到发散条件，例如手拉手模型，它本质上是全等三角形的一种特殊位置，即两个三角形绕某个顶点旋转后相互重合，使用模型要看题目大环境，在等边三角形、正方形等特殊图形组合中，手拉手模型的存在是普遍性的，因为等边三角形本身就可以看作一条边绕一个顶点旋转后得到另一条边，正方形同理，这就是图形的本质属性了。

我们在平时的教学过程中，正需要引导学生去认知这些本质属性，利用它们来解决问题，模型的归纳不过是这个过程中的附属产品，这个顺序不能错。

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