卷积

卷积在数据分析中无处不在。 几十年来，它们已用于信号和图像处理。 最近，它们已成为现代神经网络的重要组成部分。

在数学上，卷积表示为：

尽管离散卷积在计算应用程序中更为常见，但由于本文使用连续变量证明卷积定理（如下所述）要容易得多，因此在本文的大部分内容中，我将使用连续形式。 之后，我们将返回离散情况，并使用傅立叶变换在PyTorch中实现它。 离散卷积可以看作是连续卷积的近似值，其中连续函数在规则网格上离散化。 因此，我们不会为离散情况重新证明卷积定理。

卷积定理

在数学上，卷积定理可以表示为：

连续傅里叶变换的位置（最大归一化常数）：

换句话说，位置空间的卷积等价于频率空间的直接乘法。这个想法是相当不直观的，但证明卷积定理是惊人的容易对于连续的情况。首先把方程的左边写出来。

现在改变积分的顺序，替换变量(x = y + z)，并分离两个被积函数。

我们为什么要关心所有这些？ 因为快速傅立叶变换的算法复杂度比卷积低。 直接卷积的复杂度为O（n2），因为我们将g中的每个元素传递给f中的每个元素。 快速傅立叶变换可以在O（n log n）的时间内计算出来。 当输入数组很大时，它们比卷积要快得多。 在这些情况下，我们可以使用卷积定理来计算频率空间中的卷积，然后执行傅立叶逆变换以返回到位置空间。

当输入较小时（例如3x3卷积内核），直接卷积仍然更快。 在机器学习应用程序中，使用较小的内核大小更为常见，因此PyTorch和Tensorflow之类的深度学习库仅提供直接卷积的实现。 但是，在现实世界中，有很多使用大内核的用例，其中傅立叶卷积更为有效。

PyTorch实现

现在，我将演示如何在PyTorch中实现傅立叶卷积函数。 它应该模仿torch.nn.functional.convNd的功能，并在实现中利用FFT，而无需用户做任何额外的工作。 这样，它应该接受三个张量（信号，内核和可选的偏差），并填充以应用于输入。 从概念上讲，此功能的内部工作原理是：

def fft_conv(
    signal: Tensor, kernel: Tensor, bias: Tensor = None, padding: int = 0,
) -> Tensor:
    # 1. Pad the input signal & kernel tensors
    # 2. Compute FFT for both signal & kernel
    # 3. Multiply the transformed Tensors together
    # 4. Compute inverse FFT
    # 5. Add bias and return

让我们根据上面显示的操作顺序逐步构建FFT卷积。 在此示例中，我将构建一个1D傅立叶卷积，但是将其扩展到2D和3D卷积很简单。 最后我们也会提供github的代码库。在该存储库中，我实现了通用的N维傅立叶卷积方法。

1 填充输入阵列

我们需要确保填充后信号和内核的大小相同。 将初始填充应用于信号，然后调整填充以使内核匹配。

# 1. Pad the input signal & kernel tensors
signal = f.pad(signal, [padding, padding])
kernel_padding = [0, signal.size(-1) - kernel.size(-1)]
padded_kernel = f.pad(kernel, kernel_padding)

注意，我只在一侧填充内核。 我们希望原始内核位于填充数组的左侧，以便它与信号数组的开始对齐。

2 计算傅立叶变换

这非常容易，因为在PyTorch中已经实现了N维FFT。 我们只需使用内置函数，然后沿每个张量的最后一个维度计算FFT。

# 2. Perform fourier convolution
signal_fr = rfftn(signal, dim=-1)
kernel_fr = rfftn(padded_kernel, dim=-1)

3 乘以变换后的张量

这是我们功能中最棘手的部分。 这有两个原因。

（1）PyTorch卷积在多维张量上运行，因此我们的信号和内核张量实际上是三维的。 从PyTorch文档中的该方程式，我们看到矩阵乘法是在前两个维度上执行的（不包括偏差项）：

我们需要包括此矩阵乘法以及转换后的维度上的直接乘法。

（2）在官方文档中所示，PyTorch实际上实现了互相关方法而不是卷积。 （TensorFlow和其他深度学习库也是如此。）互相关与卷积密切相关，但有一个重要的符号变化：

与卷积相比，这有效地逆转了核函数(g)的方向。我们不是手动翻转核函数，而是通过求傅里叶空间中核函数的复共轭来修正。因为我们不需要创建一个全新的张量，所以这大大加快了存储效率。(本文末尾的附录中包含了如何/为什么这样做的简要演示。)

# 3. Multiply the transformed matrices

def complex_matmul(a: Tensor, b: Tensor) -> Tensor:
    """Multiplies two complex-valued tensors."""
    # Scalar matrix multiplication of two tensors, over only the first two dimensions.
    # Dimensions 3 and higher will have the same shape after multiplication.
    scalar_matmul = partial(torch.einsum, "ab..., cb... -> ac...")

    # Compute the real and imaginary parts independently, then manually insert them
    # into the output Tensor.  This is fairly hacky but necessary for PyTorch 1.7.0,
    # because Autograd is not enabled for complex matrix operations yet.  Not exactly
    # idiomatic PyTorch code, but it should work for all future versions (>= 1.7.0).
    real = scalar_matmul(a.real, b.real) - scalar_matmul(a.imag, b.imag)
    imag = scalar_matmul(a.imag, b.real) + scalar_matmul(a.real, b.imag)
    c = torch.zeros(real.shape, dtype=torch.complex64)
    c.real, c.imag = real, imag

    return c


# Conjugate the kernel for cross-correlation
kernel_fr.imag *= -1
output_fr = complex_matmul(signal_fr, kernel_fr)

PyTorch 1.7改进了对复数的支持，但是autograd中还不支持对复数值张量的许多操作。现在，我们必须编写自己的complex_matmul方法作为补丁。虽然不是最佳的解决方案，但它目前可以工作。

4 计算逆变换

使用torch.irfftn可以很容易地计算出逆变换。 然后，裁剪出多余的数组填充。

# 4. Compute inverse FFT, and remove extra padded values
output = irfftn(output_fr, dim=-1)
output = output[:, :, :signal.size(-1) - kernel.size(-1) + 1]

5 添加偏置并返回

添加偏置项也非常容易。 请记住，偏置对输出阵列中的每个通道都有一个元素，并进行相应的整形。

# 5. Optionally, add a bias term before returning.
if bias is not None:
    output += bias.view(1, -1, 1)

放在一起

为了完整起见，让我们将所有这些代码段编译为一个内聚函数。

def fft_conv_1d(
    signal: Tensor, kernel: Tensor, bias: Tensor = None, padding: int = 0,
) -> Tensor:
    """
    Args:
        signal: (Tensor) Input tensor to be convolved with the kernel.
        kernel: (Tensor) Convolution kernel.
        bias: (Optional, Tensor) Bias tensor to add to the output.
        padding: (int) Number of zero samples to pad the input on the last dimension.
    Returns:
        (Tensor) Convolved tensor
    """
    # 1. Pad the input signal & kernel tensors
    signal = f.pad(signal, [padding, padding])
    kernel_padding = [0, signal.size(-1) - kernel.size(-1)]
    padded_kernel = f.pad(kernel, kernel_padding)

    # 2. Perform fourier convolution
    signal_fr = rfftn(signal, dim=-1)
    kernel_fr = rfftn(padded_kernel, dim=-1)

    # 3. Multiply the transformed matrices
    kernel_fr.imag *= -1
    output_fr = complex_matmul(signal_fr, kernel_fr)

    # 4. Compute inverse FFT, and remove extra padded values
    output = irfftn(output_fr, dim=-1)
    output = output[:, :, :signal.size(-1) - kernel.size(-1) + 1]

    # 5. Optionally, add a bias term before returning.
    if bias is not None:
        output += bias.view(1, -1, 1)

    return output

测试

最后，我们将确认这在数值上等于使用torch.nn.functional.conv1d进行直接一维卷积。 我们为所有输入构造随机张量，并测量输出值的相对差异。

import torch
import torch.nn.functional as f


torch.manual_seed(1234)
kernel = torch.randn(2, 3, 1025)
signal = torch.randn(3, 3, 4096)
bias = torch.randn(2)

y0 = f.conv1d(signal, kernel, bias=bias, padding=512)
y1 = fft_conv_1d(signal, kernel, bias=bias, padding=512)

abs_error = torch.abs(y0 - y1)
print(f'\nAbs Error Mean: {abs_error.mean():.3E}')
print(f'Abs Error Std Dev: {abs_error.std():.3E}')

# Abs Error Mean: 1.272E-05
# Abs Error Std Dev: 9.937E-06

每个元素相差约1e-5-相当准确，考虑到我们使用的是32位精度！ 我们还可以执行一个快速基准测试来衡量每种方法的速度：

from timeit import timeit


direct_time = timeit(
    "f.conv1d(signal, kernel, bias=bias, padding=512)", 
    globals=locals(), 
    number=100
) / 100
fourier_time = timeit(
    "fft_conv_1d(signal, kernel, bias=bias, padding=512)", 
    globals=locals(), 
    number=100
) / 100
print(f"Direct time: {direct_time:.3E} s")
print(f"Fourier time: {fourier_time:.3E} s")

# Direct time: 1.523E-02 s
# Fourier time: 1.149E-03 s

所测得的基准将随着您所使用的机器而发生重大变化。 （我正在使用非常老的Macbook Pro进行测试。）对于1025的内核大小，傅立叶卷积似乎要快10倍以上。

总结

本片文章对傅立叶卷积提供了详尽的介绍。 我认为这是一个很酷的技巧，并且可以在许多实际应用中使用它。 我也很喜欢数学，因此很高兴看到编程和纯数学的这种交汇。 欢迎并鼓励所有评论和建设性批评。

本文的代码 github/fkodom/fft-conv-pytorch

附录

卷积与互相关

在本文前面，我们通过在傅立叶空间中获取内核的复共轭来实现互相关。 这有效地扭转了内核的方向，现在我想证明为什么。 首先，请记住卷积和互相关的公式：

然后，让我们看一下内核的傅里叶变换（g）：

取G的复共轭。请注意，内核g（x）是实值，因此不受共轭影响。 然后，更改变量（y = -x）并简化表达式。

因此，我们有效地改变了内核的方向！

作者 Frank Odom

deephub翻译组