矩阵(II) - 网络统计学(15) 矩阵数论

矩阵在统计学中的用途广泛且多样，主要用于表示和操作数据、简化计算过程以及解决各种统计问题。通过矩阵运算可以简化和加速统计数据分析、建模和计算过程。无论是基本的线性代数操作，还是高级的统计分析方法，矩阵都为我们提供了强大而灵活的工具。

3、随机数、对角和单位矩阵

（1）随机数矩阵

【语法】

// 函数
  webTJ.Matrix.getRandom(rows,cols);
// 参数
  【rows, cols】
  【矩阵行数, 矩阵列数】

【代码】

webTJ.clear();
var oArrs=webTJ.Matrix.getRandom(4,5); //生成4×5随机数（0-1）矩阵
webTJ.display(oArrs,1);

（2）对角矩阵

【语法】

// 函数
  webTJ.Matrix.getDiag(arr);
// 参数
 【arr】
 【一维数组（对角元素）】

【代码】

webTJ.clear();
var oArr = [2,5,2,3]; //对角数组
var oDiag = webTJ.Matrix.getDiag(oArr); //生成对角矩阵
webTJ.display(oDiag,1);

（3）单位矩阵

【语法】

// 函数
  webTJ.Matrix.getIdentity(rank);
// 参数
【rank】
【矩阵阶数】

【代码】

webTJ.clear();
var oIdentity = webTJ.Matrix.getIdentity(5); //生成5阶单位阵
webTJ.display(oIdentity,1);

4、矩阵特征值和特征向量

矩阵特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）是线性代数中的重要概念，广泛应用于统计学和数据分析。以下是对它们的简单介绍及其在统计学中的应用。

对于一个n×n 的方阵A，如果存在一个非零向量V 和一个标量λ 满足以下方程A × V = λ × V，那么，λ 称为矩阵A 的特征值，V 称为对应于特征值λ 的特征向量。

求解方法：

• 特征值：通过解特征多项式 det(A?λI) = 0 得到特征值，其中I 是单位矩阵。
• 特征向量：对于每个特征值λ，求解线性方程组 (A?λI)v = 0 得到对应的特征向量。

在统计学中的应用：

• 主成分分析（PCA）：是一种降维技术，通过特征值和特征向量将高维数据投影到较低维度的空间中，保持数据的主要变异性。
• 协方差矩阵：计算数据的协方差矩阵。
• 特征分解：对协方差矩阵进行特征分解，得到特征值和特征向量。
• 主成分选择：选择最大的特征值对应的特征向量作为主成分。

【语法】

// 函数
  webTJ.Matrix.getEig(arrs);
// 参数
【arrs：二维数组】

注：矩阵（二维数组）arrs为方阵

【代码】

webTJ.clear();
var A = [[1,2,5],[3,5,-1],[7,-3,5]];
var oArrs=webTJ.Matrix.getEig(A); //计算矩阵特征值和特征向量
webTJ.display(oArrs[0],1);        //显示特征值数组
webTJ.display(oArrs[1],1);        //显示特征向量

5、矩阵SVD分解

矩阵的奇异值分解（SVD，Singular Value Decomposition）是线性代数中一种非常重要的分解技术，广泛应用于统计学、信号处理、数据压缩和机器学习等领域。

对于任意一个 m×n 的矩阵 A，它的奇异值分解可以表示为：

其中：U 是一个 m×m 的正交矩阵，称为左奇异向量矩阵；Σ 是一个 m×n 的对角矩阵，其对角元素为非负的奇异值，按降序排列；V 是一个 n×n 的正交矩阵，称为右奇异向量矩阵。

在统计学中，矩阵SVD分解的应用如下：

• 数据降维：SVD 可以用于数据降维，类似于主成分分析（PCA）。通过截断奇异值矩阵Σ ，保留主要的奇异值，可以降低数据的维度。
• 矩阵逼近：通过 SVD，可以找到与原矩阵最接近的低秩矩阵，这在数据压缩和降噪中非常有用。
• 协同过滤：在推荐系统中，SVD 被用来分解用户-项目评分矩阵，进行潜在因子模型的构建，从而实现协同过滤。
• 图像压缩：SVD 可用于图像压缩，通过保留主要的奇异值，丢弃次要的奇异值，减少存储空间。

【语法】

// 函数
  webTJ.Matrix.getSVD(arrs);
// 参数
 【arrs】
 【二维数组】

【代码】

webTJ.clear();
var oArrs = [
[22,10,2,3,7], [14,7,10,0,8], [-1,13,-1,-11,3], [-3,-2,13,-2,4],
[9,8,1,-2,4], [9,1,-7,5,-1], [2,-6,6,5,1], [4,5,0,-2,2]];
var oBrrs=webTJ.Matrix.getSVD(oArrs);
webTJ.display(oBrrs[0],1);//显示U值
webTJ.display(oBrrs[1],1);//显示S值
webTJ.display(oBrrs[2],1);//显示V值

文中介绍了的矩阵运算引用了numeric-1.2.6.min.js数学库，所有的示例代码都经过了在线工具“http://www.galaxystatistics.com/webTJX.html”的运行验证。