递归算法的时间复杂度 递归算法时间复杂度计算

递归算法应该都不陌生，其实最开始遇见递归应该是在数学课上，类似于f(x)=f(x-1)+f(x+1)，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=3这种数学题大家应该见过不少，其实思想就是层层递归，最终将目标值用f(1)，f(2)，f(3)表示。

之前做了一个需求，需要实现类似操作系统文件夹的功能，我们用MySQL数据库记录数据，表字段有4列，分别是id，index_name，pid，is_directory，index_name记录文件或文件的名字，pid记录它的父级id，is_directory标记它是文件还是文件夹。

记录被存下以后，就涉及到取数据的问题了，我们前端需要的目标数据结构是这样的：

[{"id":1,"name":"./"},{"id":2,"name":"./1.txt"},
{"id":3,"name":"./dir1/"},
{"id":4,"name":"./dir1/2.txt"},...]

有点类似linux系统的tree命令。

第一版代码是这样的：

tree = []
def getTree(pid):
return
for index in childIndexes:
if len(tree) == 0:
if index.is_directory==1 tree.append(
{'id':index.id,'name':'./'+index.index_name+'/'})
getTree(index.id)
else:
tree.append(
{'id':index.id,'name':'/'+index.index_name})
else:
for item in tree:
if item['id'] == index.id
if item.is_directory==1: tree.append({'id':index.id,'name':
item['name']+index.index_name+'/'})
else:
tree.append
(
{'id':index.id,'name':item['name']+index.index_name
}
)

大概看一下这个算法的时间复杂度，第一层的遍历时间复杂度是n，第二层遍历的时间复杂度是n，内层的时间复杂度是O（n^2），再加上递归，最后的时间复杂度是O（2^n*n^2），这个算法可见很粗糙，假如递归深度到是100，最后执行效率简直会让人头皮发麻。接下来我们考虑一下如何优化。

第二版代码：

tree = []
def getTree(pid,path='./'):
return
for index in childIndexes:
if len(tree) == 0:
if index.is_directory==1 tree.append({'id':index.id,
'name':path+index.index_name+'/'})
getTree(index.id,
path+index.index_name+'/')
else:
tree.append({'id':index.id,
'name':path+index.index_name})
else:
if item.is_directory==1: tree.append({'id':index.id,
'name':path+index.index_name+'/'})
else:
tree.append({'id':index.id,
'name':path+index.index_name})

我们用变量保存每一次的path，这次我们看看时间复杂度是多少。第一层遍历时间复杂度是O(n)，加上递归，最后的时间复杂度是O(2^n*n)，不算太理想，最起码比第一次好点。

再看看一个面试的常见的题目，斐波拉契数列，n=1,1,3,5,8,13…，求第n位是多少？

一看首先就想到了递归的方式：

def fibSquence(n):
if n in (1,2):
return
fibSquence(n-1)+ fibSquence(n-2)

这个算法的时间复杂度是O(2^n)，关于时间复杂度具体看调用次数便能明白。我们考虑一下如何优化，比如求n=3是，需要先求n=2,n=1，但是最开始n=1,n=2已经求过，多了两步重复计算。

下面是优化的代码：

fibMap = {1:1,2:2}
def fibSquence(n):
else:
result = fibSquence(n-1)+ fibSquence(n-2) fibMap.update({n:result})
return result

我们用map报存中间值，map是基于hash实现的，时间复杂度是O(1)，这样这个算法的时间复杂度就是O(n)。

但是事实上这个问题大可不必用递归方式求解。

fibMap = {1:1,2:2}
def fibSquence(n):
else:
for i in range(3,n+1):
fibMap.update({i:fibMap[i-1]+fibMap[i-2]})
return fibMap[n]

这样我们只用一次遍历，便可以求出目标值。

递归算法的优化大概就是避免重复运算，将中金状态保存起来，以便下次使用，从结构上来看，是将时间复杂度转换为空间复杂度来解决。