Hough 变换（Hough transform）是一种非线性变换，它将图像空间中的像素点映射到参数空间中的曲线或曲面。在 Hough 变换中，每个像素点对应于参数空间中的一条曲线或曲面

rho是点到直线的距离，theta就是垂线与x轴正向的夹角，这样一条直线在参数空间中其实就对应了一点而已

具体来说，对于直线检测，Hough 变换将图像空间中的像素点映射到参数空间中的一条直线，这条直线可以由两个参数表示：截距和斜率。

在 Hough 变换中，每个像素点对应于参数空间中的一条直线，这些直线的交点对应于图像中的直线。对于圆形检测，Hough 变换将图像空间中的像素点映射到参数空间中的一组参数，包括圆心的 x 坐标、圆心的 y 坐标和圆的半径。

尽管 Hough 变换本身是非线性的，但是在实际应用中，可以将 Hough 变换与其他线性变换（如平移、旋转、缩放等）组合使用，以实现更复杂的图像处理任务。

一个例子应用matlab自带的Hough变换检测平行四边形的例子

% 读入图像
img = imread('image.png');

% 灰度化
gray_img = rgb2gray(img);

% 检测边缘
edge_img = edge(gray_img, 'Canny');

% 进行 Hough 变换
[H, T, R] = hough(edge_img, 'Theta', -90:0.5:89.5);

% 检测平行四边形
P = houghpeaks(H, 4, 'threshold', ceil(0.3*max(H(:))));
lines = houghlines(edge_img, T, R, P, 'FillGap', 20, 'MinLength', 40);

% 插值平行四边形边缘
for k = 1:length(lines)
    % 计算边缘线段的长度和方向
    len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2);
    theta = atan2(lines(k).point2(2) - lines(k).point1(2), lines(k).point2(1) - lines(k).point1(1));
    
    % 生成新的端点
    pt1 = lines(k).point1 - 0.1*len*[cos(theta), sin(theta)];
    pt2 = lines(k).point2 + 0.1*len*[cos(theta), sin(theta)];
    
    % 更新端点坐标
    lines(k).point1 = pt1;
    lines(k).point2 = pt2;
end

% 绘制检测到的平行四边形
figure, imshow(img), hold on
for k = 1:length(lines)
    xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
    plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','green');
end

自己写一个简单的Hough变换程序

function [H,theta,rho] = myhough(BW,thetaRes,rhoRes)
% BW: 二值化图像
% thetaRes: theta 的分辨率
% rhoRes: rho 的分辨率

% 计算图像的尺寸
[m,n] = size(BW);

% 计算 rho 的取值范围
rhoMax = sqrt(m^2+n^2);
rhoMin = -rhoMax;
numRho = round((rhoMax-rhoMin)/rhoRes)+1;

% 计算 theta 的取值范围
thetaMin = -90;
thetaMax = 90;
numTheta = round((thetaMax-thetaMin)/thetaRes)+1;

% 初始化 H 矩阵
H = zeros(numRho,numTheta);

% 枚举每个点，计算对应的 rho 和 theta 值
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if BW(i,j) == 1
            for k = 1:numTheta
                theta = thetaMin + (k-1)*thetaRes;
                rho = i*cosd(theta) + j*sind(theta);
                rhoIndex = round((rho-rhoMin)/rhoRes)+1;
                H(rhoIndex,k) = H(rhoIndex,k) + 1;
            end
        end
    end
end

% 计算 rho 和 theta 的取值
theta = linspace(thetaMin,thetaMax,numTheta);
rho = linspace(rhoMin,rhoMax,numRho);
end

这个函数实现了基本的 Hough 变换算法。首先计算 rho 和 theta 的取值范围和分辨率，然后初始化 H 矩阵。接下来枚举每个图像中的像素点，计算对应的 rho 和 theta 值，并在 H 矩阵中进行计数。最后返回 rho、theta 和 H 矩阵

使用该函数可以检测直线

% 读入图像并进行边缘检测
I = imread('cameraman.tif');
BW = edge(I,'canny');

% 进行 Hough 变换
[H,theta,rho] = myhough(BW,1,1);

% 在参数空间中寻找峰值
P = houghpeaks(H,5);

% 提取直线
lines = houghlines(BW,theta,rho,P);

% 显示图像和检测结果
figure;
imshow(I);
hold on;
for k = 1:length(lines)
    xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
    plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','green');
end

这个简单的实现可能会比内置的 hough 函数慢很多，可以通过优化算法和使用向量化运算来提高效率，仅供理解这种找特定多边形边缘算法！

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