在医学图像处理中，往往通过对某切面作多个X射线投影，来获得切面的结构图形，这就是所谓的图像重建。图像重建有好多种方法，但实际上，当人们在处理二维或三维投影数据时，真正有效的重要算法都是以Radon变换或Radon逆变换作为数学基础的。

在图像变换中，Radon变换的实质就是计算图像矩阵在某个方向上的投影。例如图像矩阵如果是二维的，在某个方向上的投影，就是在其垂直方向上的线积分。如下图：

Radon变换的几何示意图——投影

事实上，Radon变换最常用的是其逆变换。因为一个物体的投影可以通过光线照射得到，如果我们能得到该物体不同方向上的投影，就可以对这些投影图像进行Radon逆变换，来重建其二维结构或三维结构。

在MATLAB中，有专门的radon()函数和iradon()函数来实现Radon变换的算法，这也是图像重建过程中必不可少的算法。

（1）在MATLAB图像处理工具箱中提供了radon()函数用于计算指定方向上图像的投影，该函数的调用格式如下：

• R = radon(I, theta)：计算图像I在矢量theta指定方向上的radon变换；

• [R,xp] = radon(...)：R的各行返回theta中各方向上的radon变换，xp表示theta方向对应的坐标值。图像I的中心，即floor((size(I)+1)/2)，为新坐标轴的中心。

（2）在MATLAB图像处理工具箱中提供了iradon()函数用于实现Radon逆变换，完成图像重建，该函数的调用格式如下：

• I = iradon(R, theta)：R是投影矩阵；theta可以是一个包含所有扫描角度的向量，且每两个相邻角度等间隔；使用的投影越多，所获得的图像越接近原图像，失真越小；

• I = iradon(P, theta, interp, filter, frequency_scaling, output_size)：interp是插值函数；filter是滤波函数，通过加窗消去投影过程中产生的高频噪声；frequency_scaling是一个标量值，取值范围[0,1]，通过缩放滤波函数的频率修改滤波函数；output_size是一个标量，用来规定重建图像的行数和列数；

• [I,H] = iradon(...)：H的返回值为滤波器的频率响应。

• interp是插值函数，有以下几种差值方式可以选择：
  

• filter是滤波函数，有以下几种滤波器可以选择：

‘Ram-Lak’：频带有限的斜坡函数滤波器，是MATLAB默认的滤波器，对投影中的噪声敏感（R-L滤波函数和S-L滤波函数）；

‘Shepp-Logan’：sinc函数*R-L函数。

‘Cosine’：cosine函数*R-L函数 。

‘Hamming’：Hamming函数*R-L函数 。

‘Hann’：hann函数*R-L函数 。

‘None’：没有滤波。

下面通过具体实例来说明Radon变换的含义和操作方法：

代码：

Demo1

Demo2

显示效果：

Demon1.投影——即线积分

Demo1.上述黑白图像的Rando变换

Demo1

可以看出，图像的生成是以(theta,xp)构建一个平面坐标，然后R矩阵中的数据作为该平面各对应点的高度，这样就构成一个三维矩阵，从而显示为上述的Radon变换图像。

Demo2_figure1

Demo2_figure2

Demo2_figure3

可以看到，在角度是0度、30多度、90多度和140多度的位置，有明显的亮点，说明该角度的投影——即垂直于该角度的线积分，值比较大。所以，可以猜测投影方向上存在直线段。例如在90度时，其投影方向为水平方向，有大量的白点，说明原图像中存在大量水平的直线段。我们从原图像可以看到，确实存在较多的水平直线段，其重建图像也表明了这一点。

简单来说，就是Radon变换和我上一篇文章提到的Hough一样，都可以作为检测图像中直线段的方法。

Demo2_figure4

Demo2_figure5

Demo2_figure6

从上面可以看出，确实是投影图像越多，其重建图像失真越小。当投影角度间隔为1度或2度时，重建图像失真较小；而当影角度间隔为5度或10度时，重建图像失真较大，图像信息丢失严重。

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