中考几何压轴 87 辅助线法则 线段和最小值 如何思考?

中考几何压轴 87 辅助线法则 线段和最小值 如何思考？

这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题 94. 《线段和最小值》

如图，矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，E、F分别是线段BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，求AE＋AF的最小值。

〖一般性提点〗

[1]. 线段和最小值，典型是三角不等式之两边之和不小于第三边；

于是考虑构造全等，将两线段转移至同一个三角形中，且第三边是定线段；

[2]. 相离的相等线段，通常意味着可以构造全等三角形，从而实现线段、角度的等量转移；

有以上这些基础概念，本题不难。详细参考题目解析。

〖题目解析〗

<1>. 以DF为一直角边，构造Rt△DFA?≌Rt△EBA：

作DA?⊥DB，且DA?＝BA，连接A?F，易证两三角形全等：

A?F＝AE；

<2>. A?是定点：

∠A?DC＝∠DBC＝α为定角：

在Rt△BCD中：勾股定理解得BD＝5；

Sinα＝3/5；cosα＝4/5；

所以 DA?是定长、定向线段，A?是定点；

<3>.连接AA?，在△AFA?中，由三角不等式：

AF＋A?F≥AA?；

当A、F、A?按序共线时，取得最小值AA?；

所以

min(AF＋AE)＝min(AF＋A?F)＝AA?；

<4>. 计算AA?：

作A?G⊥AB于G，交CD于H；

在Rt△DHA?中：（A?D＝AB）

DH＝A?D·cosα＝12/5；

A?H＝A?D·sinα＝9/5；

解Rt △AGA?：

A?G＝BC＋A?H＝29/5；

AG＝DH＝12/5；

AA?＝√985/5.

min(AF＋AE)＝√985/5