一、基础概念

决策树是一类极为常用的机器学习方法，尤其是在分类场景。决策树通过树形结构来递归地将样本分割到不同的叶子结点中去，并根据每个叶子结点中的样本构成对该结点中的样本进行分类。

我们可以从两个视角来理解决策树模型。

• 第一种视角是将决策树视为一组规则的集合。对一棵完整的决策树来说，从根节点到每一个叶子结点都对应了一条规则，不同的规则之间互斥且完备。
• 第二种视角是从条件概率的角度来理解决策树。我们对每个叶子结点的分类，都是依据该结点包含的样本集合分属于不同分类的概率来决定的。从这个角度来看，决策树本质上也是一种概率模型。

与其他机器学习方法一样，使用决策树进行预测时，我们的目标是尽可能地在新样本上预测得更准确。那么，一方面我们要在训练集上得到尽可能高的预测精度，另一方面，我们要通过正则化参数来保证模型没有过拟合。

决策树学习的目标就是最小化上述函数，该函数无法使用常规的梯度下降来直接求解，因此我们一般使用启发式的方法来寻找最优决策树，具体来说，就是递归地选择最优特征来分割数据集。如果某次分割后的子集可以完全正确划分到某一类，那么该子集可以归到一个叶子结点；否则，继续从这些子集中选择最优特征进行下一次划分，直到所有子集都能被正确分类。

以上思路会构建一棵完整的树，但是正如前文所述，我们还需要保证模型没有过拟合，因此我们需要对决策树进行剪枝。决策树剪枝通常有预剪枝和后剪枝两种方法。

总的来说，完整的决策树包含特征选择、决策树构建和决策树剪枝三大方面。

二、特征选择

为了构建一棵性能良好的决策树，我们需要从训练集中不断选取最具有区分度（分类能力）的特征。一般来说，我们通过三个指标来实现这一目标。

1. 信息增益

为了说明信息增益，我们需要引入信息熵的概念。在信息论和概率论中，熵是一种描述随机变量不确定性的度量方式，也可以用来描述样本集合的不纯度。熵越低，样本的不确定性就越低，纯度则越高。

信息增益是指在得到了某个特征X的信息之后，使得类Y的信息不确定性减少的程度。或者说，信息增益代表了某特征带来的分类确定性的增量，特征的信息增益越大，目标分类的确定性也就越大。

构建决策树时可以使用信息增益进行特征选择，特征的信息增益越大，代表了其分类能力越强，ID3算法就是基于信息增益做特征选择的。

我们举一个例子来演示信息增益的计算。

例1：假设有20位同学，其中有10位喜欢篮球，10位不喜欢篮球。在20位同学中有12位男同学，其中9位喜欢篮球，3位不喜欢篮球；有8位女同学，其中1位喜欢篮球，7位不喜欢篮球。那么性别（男/女）的信息增益是多少？

import numpy as np

def entropy(freq: list) -> float:
    """计算信息熵
    """
    freq = np.array([i for i in freq if i > 0])
    proba = freq / freq.sum()
    entropy = - (proba * np.log2(proba)).sum()
  
    return entropy

if __name__ == '__main__':
    # 原始数据
    like_basketball = [10, 10]
    male_like_basketball = [9, 3]
    female_like_basketball = [1, 7]
  
    # 经验熵
    entropy_init = entropy(like_basketball)
  
    # 条件熵 
    entropy_cond = 10 / 20 * entropy(male_like_basketball) + \
        10 / 20 * entropy(female_like_basketball)
  
    # 信息增益
    info_gain = entropy_init - entropy_cond
  
    print('经验熵：{0}\n条件熵：{1}\n信息增益：{2}'.format(
        entropy_init, entropy_cond, info_gain))

结果为：

经验熵：1.0
条件熵：0.6774212838293646
信息增益：0.3225787161706354

2. 信息增益率

信息增益存在一个问题：当某个特征分类取值较多时，该特征的信息增益计算结果会放大。取极端情况，如有一个特征为编号，每个样本对应了唯一的一个编号，这种情况下的信息纯度很高，那么基于这个特征得到的信息增益就很大。

gender_cnt = [12, 8]
entropy_gender = entropy(gender_cnt)
gain_rate = info_gain / entropy_gender

print('信息增益率：{0}'.format(gain_rate))

结果为：

信息增益率：0.33222979419649123

3. 基尼系数

仍以例1来演示基尼系数的计算。

def gini(freq: list) -> float:
    """计算基尼系数
    """
    freq = np.array([i for i in freq if i > 0])
    proba = freq / freq.sum()
    g = 1 - (proba ** 2).sum()
  
    return g

gini_male = 12 / 20 * gini(male_like_basketball) + 8 / 20 * gini(female_like_basketball)

print('基尼系数：{0}'.format(gini_male))

结果为：

基尼系数：0.3125

三、决策树模型

三大经典决策树模型分别为ID3、C4.5、CART，它们都是通过递归地选择最优特征来构建决策树。如前文所述，在评估最优特征时，它们分别使用了信息增益、信息增益率和基尼系数三个指标。

ID3和C4.5算法仅有决策树的生成，不包含决策树剪枝的部分，因此容易过拟合。CART算法除了用于分类外，还可用于回归，也包含决策树剪枝，因此现在应用更为广泛。

1. ID3

ID3算法的全称为Iterative Dichotomiser 3，即迭代二叉树。其核心是基于信息增益递归地选择最优特征构造决策树。

简单来阐述，ID3算法的思路为：

1. 首先预设一个决策树根节点，然后对所有特征计算信息增益；
2. 选择一个信息增益最大的特征作为最优特征，根据该特征的不同取值建立子结点；
3. 接着对每个子结点递归地调用上述方法，直到信息增益很小或者没有特征可选时，将这些子结点作为叶子结点，并以该叶子结点上的多数类作为预测类。

2. C4.5

C4.5算法实际上是对ID3算法的改进。

1. ID3算法使用信息增益做特征选择，倾向于选择取值水平较多的特征。针对这一问题，C4.5算法改为使用信息增益率。
2. ID3算法不可以处理缺失值，C4.5算法可以。
3. ID3算法不支持连续值特征，C4.5算法支持。
4. ID3算法不支持后剪枝，C4.5算法支持后剪枝。

3. CART

CART算法的全称为分类与回归树（classification and regression tree），它既可用于分类，又可用于回归，这是它与ID3/C4.5之间的主要区别之一，此处我们仅讨论CART算法用于分类的场景。此外，CART算法中的特征选择使用的是基尼系数。最后，CART算法不仅包含了决策树的生成算法，还包括了决策树的剪枝算法。

CART生成的决策树为二叉树，内部结点取值为“是”和“否”，这种方法等价于递归地二分每个特征，将特征空间划分为有限个子空间，并在这些子空间上确定预测的概率分布，即前述的预测条件概率分布。

其算法流程为：

4. 对比

四、决策树剪枝

决策树剪枝一般包含两种方法：预剪枝（pre-pruning）和后剪枝（post-pruning）。

1. 预剪枝

预剪枝，是指在决策树生成过程中提前停止树的增长的一种剪枝算法。其主要思路有：

• 提前设定决策树的深度，当达到这一深度时，停止生长。
• 当某结点的所有样本属于同一类别，停止生长。
• 提前设定某个阈值，当某结点的样本数小于该阈值时，停止生长。
• 提前设定某个阈值，当分裂带来的性能提升小于该阈值时，停止生长。

预剪枝方法直接、简单高效，适用于大规模求解问题。目前在主流的集成学习模型中，很多算法用到了预剪枝的思想。但因为决策树的构建使用的是启发式方法，具有局部最优的问题，预剪枝提前停止树的生长，存在一定的欠拟合风险。

2. 后剪枝

主流的后剪枝方法有四种：悲观错误剪枝（Pessimistic Error Pruning，PEP），最小错误剪枝（Minimum Error Pruning，MEP），代价复杂度剪枝（Cost-Complexity Pruning，CCP）和基于错误的剪枝（Error-Based Pruning，EBP）。C4.5采用悲观错误剪枝，CART采用代价复杂度剪枝。

后剪枝主要通过极小化决策树整体损失函数来实现。前文我们提到，决策树学习的目标是最小化如下损失函数：

CART算法使用的正是后剪枝方法。CART后剪枝首先通过计算子树的损失函数来实现剪枝并得到一个子树序列，然后通过交叉验证的方法从子树序列中选取最优子树。

五、优缺点

1. 优点

1. 简单直观，生成的决策树很直观。
2. 基本不需要预处理，不需要提前归一化和处理缺失值。
3. 使用决策树预测的代价是O(log2N)?。N?为样本数。
4. 既可以处理离散值也可以处理连续值。很多算法只是专注于离散值或者连续值。
5. 可以处理多维度输出的分类问题。
6. 相比于神经网络之类的黑盒分类模型，决策树在逻辑上可以很好解释。
7. 可以交叉验证的剪枝来选择模型，从而提高泛化能力。
8. 对于异常点的容错能力好，健壮性高。

2. 缺点

1. 决策树算法非常容易过拟合，导致泛化能力不强。可以通过设置节点最少样本数量和限制决策树深度来改进。
2. 决策树会因为样本发生一点的改动，导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习之类的方法解决。
3. 寻找最优的决策树是一个NP难题，我们一般是通过启发式方法，容易陷入局部最优。可以通过集成学习的方法来改善。
4. 有些比较复杂的关系，决策树很难学习，比如异或。这个就没有办法了，一般这种关系可以换神经网络分类方法来解决。
5. 如果某些特征的样本比例过大，生成决策树容易偏向于这些特征。这个可以通过调节样本权重来改善。

六、代码实战

1. sklearn

在sklearn中，使用决策树进行分类预测非常简单，下面是一个来自官方文档的例子。

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier

X = [[0, 0], [1, 1]]
Y = [0, 1]
clf = DecisionTreeClassifier()
clf = clf.fit(X, Y)

# 预测
print(clf.predict([[2, 2]])

# 预测概率
print(clf.predict_proba([[2, 2]])

我们还可以将决策树通过可视化的方式呈现出来。

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn import tree
import matplotlib.pyplot as plt

# 以iris数据为例
iris = load_iris()
clf = tree.DecisionTreeClassifier()
clf = clf.fit(iris.data, iris.target)

# 可视化
plt.figure(figsize=(36, 24))
tree.plot_tree(clf, feature_names=iris.feature_names, 
               filled=True, proportion=True, fontsize=14)

?

2. PySpark

在PySpark中使用决策树模型稍显复杂。

import numpy as np
import pandas as pd
from pyspark.sql import SparkSession
from pyspark.ml import Pipeline
from pyspark.ml.feature import VectorAssembler
from pyspark.ml.classification import DecisionTreeClassifier, RandomForestClassifier
from pyspark.ml.tuning import ParamGridBuilder, CrossValidator, TrainValidationSplit
from pyspark.ml.evaluation import BinaryClassificationEvaluator


spark = SparkSession.builder.appName('test').getOrCreate()


# 准备数据
# 数据可以从Hive中读取，或从pandas.DataFrame格式创建等。
# 此处假设一份用于二分类预测模型训练的数据已准备好，
data = YOUR_PYSPARK_DATAFRAME
features = YOUR_FEATURE_COLUMN_NAMES
label_col = YOUR_LABEL_COLUMNS

# 数据集分割
traindf, testdf = data.randomSplit([0.8, 0.2], seed=1)

# 特征向量化
vec_assembler = VectorAssembler(inputCols=features, outputCol='features')

# 决策树
dtree = DecisionTreeClassifier(
    seed=1,
    labelCol=label_col,
    featuresCol='features',
    predictionCol='pred',
    probabilityCol='proba',
    maxDepth=5,
    minInstancesPerNode=3,
    impurity='gini',
    maxBins=10
)

# 训练模型
pipeline = Pipeline(stages=[vec_assembler, dtree])
model = pipeline.fit(traindf)

# 特征重要性
feat_importances = list(zip(features, model.stages[1].featureImportances))
df_importances = pd.DataFrame(sorted(feat_importances, key=lambda x: x[1], reverse=True), 
                              columns=['feature', 'importances'])
df_importances.head()

# 预测
df_pred = model.transform(testdf) 
to_array = F.udf(lambda x: x.toArray().tolist(), ArrayType(DoubleType()))
df_pred = df_pred.withColumn('proba_score', to_array('proba')[1])

?

我们还可以在PySpark中使用网格搜索来确定最佳参数。

# 特征向量化
vec_assembler = VectorAssembler(inputCols=features, outputCol='features')

# 随机森林
dtree = DecisionTreeClassifier(
    seed=1,
    labelCol=label_col,
    featuresCol='features',
    predictionCol='pred',
    probabilityCol='proba',
    impurity='gini',
    # maxDepth=5,
    # minInstancesPerNode=3,
    # maxBins=10
)

# 流水线
pipeline = Pipeline(stages=[vec_assembler, dtree])

# 设置网格参数
param_grid = ParamGridBuilder() \
    .baseOn({dtree.labelCol:'label'}) \
    .baseOn({dtree.featuresCol: 'features'}) \
    .baseOn({dtree.predictionCol: 'pred'}) \
    .baseOn({dtree.probabilityCol: 'proba'}) \
    .addGrid(dtree.minInstancesPerNode, [3, 5, 7]) \
    .addGrid(dtree.maxDepth, [10, 12, 15, 20]) \
    .addGrid(dtree.maxBins, [5, 10, 15]) \
    .build()


# 模型评估
evaluator = BinaryClassificationEvaluator()

# 交叉验证
cv = CrossValidator(
    estimator=pipeline,
    estimatorParamMaps=param_grid,
    evaluator=evaluator,
    numFolds=5,
    seed=1024
)

# 开始执行
a = time.time()
cvModel = cv.fit(traindf)
b = time.time()
print(b - a)

# 打印最佳参数
params = cvModel.getEstimatorParamMaps()
avg_metrics = cvModel.avgMetrics
all_params = list(zip(params, avg_metrics))
best_param = sorted(all_params, key=lambda x: x[1], reverse=True)[0]
for p, v in best_param[0].items():
    print("{}: {}".format(p.name, v))

?