Id3

它根据信息增益(Information gain)来选取Feature作为决策树分裂的节点.特征A对训练数据集D的信息增益定义为集合D的经验熵(所谓经验熵,指的是熵是有某个数据集合估计得到的)H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵 H(D∣A)之差,记为 g(D,A)

算法过程大概是怎么样的。

　　　　输入的是m个样本，样本输出集合为D，每个样本有n个离散特征，特征集合即为A，输出为决策树T。

　　　　算法的过程为：

　　　　1)初始化信息增益的阈值?

　　　　2）判断样本是否为同一类输出Di，如果是则返回单节点树T。标记类别为Di

　　　　3) 判断特征是否为空，如果是则返回单节点树T，标记类别为样本中输出类别D实例数最多的类别。

　　　　4）计算A中的各个特征（一共n个）对输出D的信息增益，选择信息增益最大的特征Ag

　　　　5) 如果Ag的信息增益小于阈值?，则返回单节点树T，标记类别为样本中输出类别D实例数最多的类别。

　　　　6）否则，按特征Ag的不同取值Agi将对应的样本输出D分成不同的类别Di。每个类别产生一个子节点。对应特征值为Agi。返回增加了节点的数T。

　　　　7）对于所有的子节点，令D=Di, A=A?{Ag}递归调用2-6步，得到子树Ti并返回。

决策树ID3算法的不足

　　　　ID3算法虽然提出了新思路，但是还是有很多值得改进的地方。　　

　　　　a)ID3没有考虑连续特征，比如长度，密度都是连续值，无法在ID3运用。这大大限制了ID3的用途。

　　　　b)ID3采用信息增益大的特征优先建立决策树的节点。很快就被人发现，在相同条件下，取值比较多的特征比取值少的特征信息增益大。比如一个变量有2个值，各为1/2，另一个变量为3个值，各为1/3，其实他们都是完全不确定的变量，但是取3个值的比取2个值的信息增益大。如果校正这个问题呢？

　　　　c) ID3算法对于缺失值的情况没有做考虑

　　　　d) 没有考虑过拟合的问题

c4.5信息增益率

计算属性分裂信息度量:用分裂信息度量来考虑某种属性进行分裂时分支的数量信息和尺寸信息，我们把这些信息称为属性的内在信息。信息增益率用信息增益 / 内在信息表示，信息增益率会导致属性的重要性随着内在信息的增大而减小（也就是说，如果这个属性本身不确定性就很大，那我就越不倾向于选取它），这样算是对单纯用信息增益有所补偿。

改变：

1）连续值的处理

C4.5的思路是将连续的特征离散化。比如m个样本的连续特征A有m个，从小到大排列为a1,a2,...,am，则C4.5取相邻两样本值的平均数，一共取得m-1个划分点，其中第i个划分点Ti表示为：Ti=ai+ai+1/2。对于这m-1个点，分别计算以该点作为二元分类点时的信息增益。选择信息增益最大的点作为该连续特征的二元离散分类点。比如取到的增益最大的点为at,则小于at的值为类别1，大于at的值为类别2，这样我们就做到了连续特征的离散化。

2)缺失值处理的问题，

主要需要解决的是两个问题，一是在样本某些特征缺失的情况下选择划分的属性，二是选定了划分属性，对于在该属性上缺失特征的样本的处理。

对于第一个子问题，对于某一个有缺失特征值的特征A。C4.5的思路是将数据分成两部分，对每个样本设置一个权重（初始可以都为1），然后划分数据，一部分是有特征值A的数据D1，另一部分是没有特征A的数据D2. 然后对于没有缺失特征A的数据集D1来和对应的A特征的各个特征值一起计算加权重后的信息增益比，最后乘上一个系数，这个系数是无特征A缺失的样本加权后所占加权总样本的比例。

对于第二个子问题，可以将缺失特征的样本同时划分入所有的子节点，不过将该样本的权重按各个子节点样本的数量比例来分配。比如缺失特征A的样本a之前权重为1，特征A有3个特征值A1,A2,A3。 3个特征值对应的无缺失A特征的样本个数为2,3,4.则a同时划分入A1，A2，A3。对应权重调节为2/9,3/9, 4/9。

C4.5几个主要的问题，仍然有优化的空间。

　　　　1)由于决策树算法非常容易过拟合，因此对于生成的决策树必须要进行剪枝。剪枝的算法有非常多，C4.5的剪枝方法有优化的空间。思路主要是两种，一种是预剪枝，即在生成决策树的时候就决定是否剪枝。另一个是后剪枝，即先生成决策树，再通过交叉验证来剪枝。后面在下篇讲CART树的时候我们会专门讲决策树的减枝思路，主要采用的是后剪枝加上交叉验证选择最合适的决策树。

　　　　2)C4.5生成的是多叉树，即一个父节点可以有多个节点。很多时候，在计算机中二叉树模型会比多叉树运算效率高。如果采用二叉树，可以提高效率。

　　　　3)C4.5只能用于分类，如果能将决策树用于回归的话可以扩大它的使用范围。

　　　　4)C4.5由于使用了熵模型，里面有大量的耗时的对数运算,如果是连续值还有大量的排序运算。如果能够加以模型简化可以减少运算强度但又不牺牲太多准确性的话，那就更好了。

Cart树

CART分类树算法使用基尼系数来代替信息增益比，基尼系数代表了模型的不纯度，基尼系数越小，则不纯度越低，特征越好。这和信息熵是类似的。与信息增益（比）是相反的。选取gini (d,a)基尼系数最小的最为划分属性。

分类与回归树的英文是Classfication And Regression Tree，缩写为CART。CART算法采用二分递归分割的技术将当前样本集分为两个子样本集，使得生成的每个非叶子节点都有两个分支。非叶子节点的特征取值为True和False，左分支取值为True，右分支取值为False，因此CART算法生成的决策树是结构简洁的二叉树。CART可以处理连续型变量和离散型变量，利用训练数据递归的划分特征空间进行建树，用验证数据进行剪枝。

如果待预测分类是离散型数据，则CART生成分类决策树。

如果待预测分类是连续性数据，则CART生成回归决策树。

CART分类树预测分类离散型数据，采用基尼指数选择最优特征，同时决定该特征的最优二值切分点。分类过程中，假设有K个类，样本点属于第k个类的概率为Pk，则概率分布的基尼指数定义为

根据基尼指数定义，可以得到样本集合D的基尼指数，其中Ck表示数据集D中属于第k类的样本子集。

如果数据集D根据特征A在某一取值a上进行分割，得到D1,D2两部分后，那么在特征A下集合D的基尼系数如下所示。其中基尼系数Gini(D)表示集合D的不确定性，基尼系数Gini(D,A)表示A=a分割后集合D的不确定性。基尼指数越大，样本集合的不确定性越大。

对于属性A，分别计算任意属性值将数据集划分为两部分之后的Gain_Gini，选取其中的最小值，作为属性A得到的最优二分方案。然后对于训练集S，计算所有属性的最优二分方案，选取其中的最小值，作为样本及S的最优二分方案。

算法输入是训练集D，基尼系数的阈值，样本个数阈值。

　　　　输出是决策树T。

　　　　我们的算法从根节点开始，用训练集递归的建立CART树。

　　　　1) 对于当前节点的数据集为D，如果样本个数小于阈值或者没有特征，则返回决策子树，当前节点停止递归。

　　　　2) 计算样本集D的基尼系数，如果基尼系数小于阈值，则返回决策树子树，当前节点停止递归。

　　　　3) 计算当前节点现有的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数，对于离散值和连续值的处理方法和基尼系数的计算见第二节。缺失值的处理方法和C4.5算法里描述的相同。

　　　　4) 在计算出来的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数中，选择基尼系数最小的特征A和对应的特征值a。根据这个最优特征和最优特征值，把数据集划分成两部分D1和D2，同时建立当前节点的左右节点，做节点的数据集D为D1，右节点的数据集D为D2.

　　　　5) 对左右的子节点递归的调用1-4步，生成决策树。

　　　　对于生成的决策树做预测的时候，假如测试集里的样本A落到了某个叶子节点，而节点里有多个训练样本。则对于A的类别预测采用的是这个叶子节点里概率最大的类别。

3.CART回归树

3.1算法详解

CART回归树预测回归连续型数据，假设X与Y分别是输入和输出变量，并且Y是连续变量。在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树。

回归树的建立大致与分类树相同。

CART树算法的剪枝

　　　　CART回归树和CART分类树的剪枝策略除了在度量损失的时候一个使用均方差，一个使用基尼系数，算法基本完全一样，这里我们一起来讲。

　　　　由于决策时算法很容易对训练集过拟合，而导致泛化能力差，为了解决这个问题，我们需要对CART树进行剪枝，即类似于线性回归的正则化，来增加决策树的泛化能力。但是，有很多的剪枝方法，我们应该这么选择呢？CART采用的办法是后剪枝法，即先生成决策树，然后产生所有可能的剪枝后的CART树，然后使用交叉验证来检验各种剪枝的效果，选择泛化能力最好的剪枝策略。

　　　　也就是说，CART树的剪枝算法可以概括为两步，第一步是从原始决策树生成各种剪枝效果的决策树，第二部是用交叉验证来检验剪枝后的预测能力，选择泛化预测能力最好的剪枝后的数作为最终的CART树。

　　　　首先我们看看剪枝的损失函数度量，在剪枝的过程中，对于任意的一刻子树T,其损失函数为：

其中，α为正则化参数，这和线性回归的正则化一样。C(T)为训练数据的预测误差，分类树是用基尼系数度量，回归树是均方差度量。|T|是子树T的叶子节点的数量。

　　　　当α=0时，即没有正则化，原始的生成的CART树即为最优子树。当α=∞时，即正则化强度达到最大，此时由原始的生成的CART树的根节点组成的单节点树为最优子树。当然，这是两种极端情况。一般来说，α越大，则剪枝剪的越厉害，生成的最优子树相比原生决策树就越偏小。对于固定的α，一定存在使损失函数Cα(T)最小的唯一子树。

　　　　看过剪枝的损失函数度量后，我们再来看看剪枝的思路，对于位于节点t的任意一颗子树Tt，如果没有剪枝，它的损失是

Cα(Tt)=C(Tt)+α|Tt|

　如果将其剪掉，仅仅保留根节点，则损失是

Cα(T)=C(T)+α

　　　　当α=0或者α很小时，Cα(Tt)<Cα(T), 当α增大到一定的程度时Cα(Tt)=Cα(T)

。当α继续增大时不等式反向，也就是说，如果满足下式：

α=C(T)?C(Tt)/|Tt|?1

Tt和T有相同的损失函数，但是T节点更少，因此可以对子树Tt进行剪枝，也就是将它的子节点全部剪掉，变为一个叶子节点T。

　　　　最后我们看看CART树的交叉验证策略。上面我们讲到，可以计算出每个子树是否剪枝的阈值α，如果我们把所有的节点是否剪枝的值α都计算出来，然后分别针对不同的α所对应的剪枝后的最优子树做交叉验证。这样就可以选择一个最好的α，有了这个α，我们就可以用对应的最优子树作为最终结果。

　　　　好了，有了上面的思路，我们现在来看看CART树的剪枝算法。

　　　　输入是CART树建立算法得到的原始决策树T。

　　　　输出是最优决策子树Tα。

　　　　算法过程如下：

　　　　1）初始化αmin=∞， 最优子树集合ω={T}。

　　　　2）从叶子节点开始自下而上计算各内部节点t的训练误差损失函数Cα(Tt)（回归树为均方差，分类树为基尼系数）, 叶子节点数|Tt|，以及正则化阈值

α=min{C(T)?C(Tt)/|Tt|?1,αmin}

更新αmin=α

　　　　3) 得到所有节点的α值的集合M。

　　　　4）从M中选择最大的值αk，自上而下的访问子树t的内部节点，如果

C(T)?C(Tt)|/t|?1≤αk

时，进行剪枝。并决定叶节点t的值。如果是分类树，则是概率最高的类别，如果是回归树，则是所有样本输出的均值。这样得到αk对应的最优子树Tk

　　　　5）最优子树集合ω=ω∪Tk， M=M?{αk}

　　　　6) 如果M不为空，则回到步骤4。否则就已经得到了所有的可选最优子树集合ω.

　　　　7) 采用交叉验证在ω选择最优子树Tα

当α很小的时候，T0 是这样的最优子树.

当α很大的时候，单独一个根节点就是最优子树。

尽管α的取值无限多，但是T0的子树是有限个。Tn是最后剩下的根结点，子树生成是根据前一个子树Ti，剪掉某个内部节点后，生成Ti+1。然后对这样的子树序列分别用测试集进行交叉验证，找到最优的那个子树作为我们的决策树。子树序列如下

T0>T1>T2>T3>...>Tn

因此CART剪枝分为两部分，分别是生成子树序列和交叉验证

决策树算法的优点：

　　　　1）简单直观，生成的决策树很直观。

　　　　2）基本不需要预处理，不需要提前归一化，处理缺失值。

　　　　3）使用决策树预测的代价是O(log2m)。 m为样本数。

　　　　4）既可以处理离散值也可以处理连续值。很多算法只是专注于离散值或者连续值。

　　　　5）可以处理多维度输出的分类问题。

　　　　6）相比于神经网络之类的黑盒分类模型，决策树在逻辑上可以得到很好的解释

　　　　7）可以交叉验证的剪枝来选择模型，从而提高泛化能力。

　　　　8） 对于异常点的容错能力好，健壮性高。

　　　　我们再看看决策树算法的缺点:

　　　　1）决策树算法非常容易过拟合，导致泛化能力不强。可以通过设置节点最少样本数量和限制决策树深度来改进。

　　　　2）决策树会因为样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习之类的方法解决。

　　　　3）寻找最优的决策树是一个NP难的问题，我们一般是通过启发式方法，容易陷入局部最优。可以通过集成学习之类的方法来改善。

　　　　4）有些比较复杂的关系，决策树很难学习，比如异或。这个就没有办法了，一般这种关系可以换神经网络分类方法来解决。

　　　　5）如果某些特征的样本比例过大，生成决策树容易偏向于这些特征。这个可以通过调节样本权重来改善。

参考：

1】博客园 刘建平 决策树

2】https://weizhixiaoyi.com/2018/04/22/机器学习之分类与回归树-CART/

ID3

C4.5

CART

根据基尼指数定义，可以得到样本集合D的基尼指数，其中Ck表示数据集D中属于第k类的样本子集。

如果数据集D根据特征A在某一取值a上进行分割，得到D1,D2两部分后，那么在特征A下集合D的基尼系数如下所示。其中基尼系数Gini(D)表示集合D的不确定性，基尼系数Gini(D,A)表示A=a分割后集合D的不确定性。基尼指数越大，样本集合的不确定性越大。