【初中数学】矩形性质与判定的灵活运用

矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面:(1)从边看:矩形的对边平行且相等;(2)从角看:矩形的四个角都是直角;(3)从对角线看:矩形的对角线互相平分且相等.判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑:一是判定它有三个角为直角;二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等.

【题目呈现】

一，求线段的长

1.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A、点B落在点M处，点C、点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=3㎝，EF=4㎝，求AD的长.

【分析】由折叠的性质和∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM十∠FEM=1/2×180°=90°，同理得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形.∴HG∥EF，HG=EF，∴∠GHN=∠EFM，又∠HNG=∠FME=90°，∴△HNG≌△FME，∴HN=MF，而HN=HD，∴HD=MF，∴AD=AH+HD=HM+MF=HF，∵HF=√(EH2+EF2)=√(32+42=5(㎝)∴AD=5㎝.本题通过折叠证出四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等证出HN=MF，进而证出HD=MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF得解，体现了转化的思想方法.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，求CF的长.

【分析】条件有E为BC的中点，能想到什么？由△ABE折叠为△AFE，又能想到什么？想到的与CF如何联系？这是我们解题首先要考虑的问题，就本题而言，E是BC的中点，可想到中位线，另一个中点在哪里呢？由折叠可知，如图，

连接BF，设AE与BF交于H，则H是BF的中点，这样算出HE的长，可得CF的长，由于AE垂直平分BF，AB=4，BE=3，则AE=5，在Rt△ABE中，由面积法可得BH=12/5，则可算出HE=9/5，∴CF=2HE=18/5.另外由折叠知BE=BF=EC=3，则可得△BFC为直角三角形，∠BFC=90°，由上知BH=12/5，则BF=24/5，又BC=6，在Rt△BFC中由勾股定理可得CF=18/5.

二.判断图形的形状

3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，P分別在AD，BC上，且DE=BP=1.

(1)判断△BEC的形状，并说明理由.

(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断.

(3)求四边形EFPH的面积.

【分析】(1)△BEC是直角三角形，由于AD=BC=5，AB=CD=2，又DE=1，∴AE=4，在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2=20，在Rt△EDC中，CE2=ED2+CD2=5，而BC2=25，∴BE2十CE2=BC2，∴△BEC是直角三角形.

(2)四边形EFPH为矩形，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，又可知AE=CP，AE∥CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，又∠BEC=90°，∴四边形EFPH是矩形.

(3)易知PC=4，PD=2√5，在Rt△PCD中，由于FC⊥PD，则PD×CF=PC×CD，∴CF=4×2/2√5=4√5/5，∴EF=CE一CF=√5/5，在Rt△PFC中，可得PF=8√5/5，∴S矩形EFPH=EF×PF=8/5.

4.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF，若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.

【分析】∵AF∥BC，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，由于E是AD的中点，∴AE=DE，由AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，∴△AFE≌△DCE，∴DC=AF，∵AF=BD，∴DC=BD，又AB=AC，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，∴四边形AFBD是矩形.

三，求角的度数

5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°.

(1)求证:四边形ABCD是矩形;

(2)若∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC，求∠BDF的度数.

【分析】(1)由AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，又∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形.

(2)∵∠ADC=90°，∠ADF:∠FDC=3:2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°一36°=54°，又∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC一∠FDC=54°一36°=18°.

6.如图，矩形ABCD是边长为1单位的正方形组成的1×3网格，求证∠1+∠2=45°.

【分析】要求∠1+∠2，与条件不好联系，应想到转化，把∠1与∠2转到一个可计算的角中，可把原图形扩展为2×3的网格，如图，

AMQD为2×3网格，连接AN，NC，则AN=NC=√5，AC=√10，从而AC2=AN2+NC2，∴∠ANC=90°，则△ANC为等腰直角三角形，∴∠2+∠4=∠CAN=45°，易证△ABF≌△NHC，∴∠1=∠4，∴∠1+∠2=45°.此题对初二同学来说有一定难度，若能想到转化的思想，也不算太难.

四，求最值

7.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，求AM的最小值.

【分析】由AB=3，AC=4，BC=5，则AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，EF与AP互相平分，M是EF的中点也是AP的中点，即AM=AP/2，可见若AP最小，则AM最小，△ABC确定，当AP⊥BC时AP最小，此时AP=AB×AC/BC=12/5，∴AM最小为6/5.

8.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，求点D到点O的最大距离.

【分析】由于∠MON=90°，A在OM上，B在ON上，且AB=2，取AB的中点E，则OE=AB/2=1，连接DE，在Rt△DAE中，DE=√2，如图，

在△DOE中，OE，DE确定，则OD≤OE+DE，当且仅当O，E，D三点共线时取等号，∴OD的最大值为OE+DE=√2+1.(利用三角形三边关系求最值时，必须包含有要求的边如OD，另两边必须确定可求).

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