中考难点，几何最值之逆等线问题

对于两条线段和的最值问题，我们最先想到的是“将军饮马”，要求的两条线段往往有公共端点，即使没有公共端点，我们也可以通过平移变换去处理。但下面这类所谓逆等线问题，虽然也是求两线段和的最小值，但是和“将军饮马”问题有一定的区别，它会有一个非常明显的特征条件，就是在动点的运动过程中，有两条线段始终保持相等，我们可以在等线段处构造全等三角形，从而将要求的两条线段拼接到一起。

例1．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值______．

【解析】如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．

∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，

∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，

∵CD+BE＝EK+EB≥BK，

∴CD+BE的最小值为BK的长，

在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，

变式1．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．

【解析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．

变式2.如图，RT△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，点E、F是线段AB上的动点，且满足AE=BF，连接CE和CF，则CE+CF的最小值为 _____.

例2．正方形ABCD中，AB＝2，点E、F分别是AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接AF，BE交于点G，DG的最小值是多少？

【解析】如图，连接OD，∵四边形ABCD是正方形。

∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°＝∠ADF

又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠DAF＝∠ABE，∴∠BAG+∠DAF＝90°。

∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°。

∴点G在以AB为直径的圆O上，

∴当点G在OD上时，DG的长最小，

例3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是_____．

【分析】方法一：设点D关于BC的对称点为G，在BG上截取BH＝AD，连接EH，可证△ADF与△HBE全等，从而AF＝EH，那么AE+AF＝AE+EH≥AH，A、H都是固定点，过点H作HM⊥AB于点M，结合相似三角形和勾股定理即可求得，

方法二：本题利用相似，表示出DG、GF、AG的长度，再利用勾股定理表示出AF、AE的长，从而把AF的长转化为点（x，0）和点（0，3）的距离、AE的长转化为点（x，0）和点（16/5，﹣12/5）的距离，这样AE+AF的最小值就是点（0，3）、（16/5，﹣12/5）之间的距离．

【解答】解法一：如图，作点D关于BC的对称点G，连接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB交AB的延长线于M．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，

∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，

∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，

∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），

∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，

解法二：如图，作FG⊥AD于G．

∵BE＝DF，∴设BE＝DF＝x

∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝4∴∠BAD＝∠ABC＝90°

根据勾股定理得，BD＝5,

∵FG⊥AD,∴∠FGD＝90°,∴∠BAD＝∠FGD＝90°.

∵∠ADB＝∠GDF,∴△BAD∽△FGD.

方法总结：解决这一类问题的方法比较多，这里主要介绍转化思想，通过全等三角形转化动态线段，解决动态线段最值问题。