九年级数学利用旋转构造全等三角形解决相关问题

在解决旋转相关题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，可以考虑利用旋转知识来解题。

以下通过一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在 的三角形转动，从而构造全等三角形利用旋转知识来解决相关问题。

例 1：已知在 △ACB中 ，∠ACB = 90° ， AC = BC ， PA = 3 ， PC = 2 ， PB = 1 ，求 ∠BPC 的度数？

分析：可以判断 △ACB 为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重合，构造全等三角形，来解决问题。

解答过程：

∵ 在 △ACB中 ，∠ACB = 90° ， AC = BC ，

∴ △ACB 为等腰直角三角形 。

将等腰直角 △ACB 的一腰 BC 绕点 C 顺时针旋转 90° 与另一腰 AC 重合，从而带动 △CPB 顺时针旋转90° 至 △CHA ，

可得 △CPB ≌ △CHA ，

∵ 在 △HCP 中 ，CH = CP ， ∠HCP = 90° ，

∴ △HCP 是等腰直角三角形 ，

∴ ∠CHP = 45° ，HP = √2 PC = 2√2 。

在△AHP 中 ，AH = PB = 1 , AP = 3 ,

∵ PH^2 + HA^2 = (2√2)^2 + 1^2 = 9 , AP^2 = 3^2 = 9

∴ PH^2 + HA^2 = AP^2

∴ △AHP 是直角三角形 ，

∴ ∠PHA = 90° ，

∴ ∠BPC = ∠AHC = 90° + 45° = 135° 。

例题2、如图所示，在等腰 Rt△ACB 中，∠ACB = 90° ， D 为 △ACB 外一点， 且满足 ∠ADC = 45° ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD 的长？

分析：这里已知等腰 Rt△ACB ，可以将等腰 Rt△ACB 的一腰 BC 顺时针旋转90° 与 另一腰 AC 重合，从而带动 △DCB 顺时针旋转90° 至 △HCA 。

解答过程：

将 △DCB 绕点C 顺时针旋转90° 至 △HCA ，则有 △DCB ≌ △HCA ，

∴ DC = HC，∠DCH = 90°，∠HDC = 45°，CH = DC = 4 ，

∴ 在 Rt△DCH 中 ， 有 DH = √2 DC = 4√2 .

又∵ ∠ADC = 45°

∴ ∠HDA =∠ADC + ∠CDH = 90° ，

在 Rt△ADH 中 ，AD = 3 , DH = 4√2 ,

∴ AH = √（AD^2+DH^2）= √（9 + 32）= √41

∴ BD = AH = √41 .

例题3、已知如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC = 60° ，∠ABC = 30° ，且 AD = AC 。

求证：AB^2 + BC^2 = BD^2 。

分析：易知 △ADC 为等边三角形，满足旋转条件。

解答过程：

将 △ADB 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 △ACH ，则可得 △ABH 为等边三角形，

∵ ∠ABC = 30°

∴ ∠CBH =∠ABC + ∠HBA = 90° ，

又 ∵ △ADB ≌ △ACH

∴ BD = HC ,

∵ 在直角△CBH 中 ，由勾股定理可得

CH^2 = BC^2 + BH ^2 ,

又 ∵ 在等边 △ABH 中，AB = BH

∴ BD^2 = BC^2 + AB^2 。

例题4、如图，已知在等边 △ABC 中，点 D 为 △ABC 外一点，且满足 ∠BDC = 120° ，

试探究 BD，DA，DC 三者之间满足什么样的数量关系？并说明你的理由 。

分析：这里 △ABC 为等边三角形，满足旋转条件。

解答过程：

DA = DB + DC 。

理由如下：

将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 △ACH ，

则有 △ ABD ≌ △ACH ， ∠ABD = ∠ACH ，BD = CH 。

∵ △ADH 为等边三角形

∴ DA = DH

在四边形 ABDC 中 ，

∵ ∠BDC = 120° ， ∠BAC = 60° ，

∴ ∠ABD + ∠ACD = 180° ，

∴ ∠ACH + ∠ACD = 180° ，

∴ D，C，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分）

∵ DH = DC + CH ,

∴ DA = DC + DB 。

例题5、如图，已知正方形 ABCD ，点 E 为正方形 ABCD 外一点， AE = 2√2 ， DE = 1 ，求线段 CE 的最大值？

分析：这里出现了正方形 ABCD ，符合旋转条件。

解答过程：

将 △EDC 绕点 D 顺时针旋转90° 至 △HDA ，则有：

△EDC ≌△HDA ，CE = AH ， DE = DH ， ∠EDH = 90° ，

∵ 在等腰直角△EDH 中 ，

∴ EH = √2 DE = √2 。

∴ AH ≤ AE + EH = 2√2 + √2 = 3√2 ，

又∵ CE = AH ，

∴ CE ≤ 3√2 。