谈谈等积变换

“等积变换，变幻万千”。等积变换是几何中灵活多样、饶有风趣的内容之一，并且在实际生产、生活中有广泛的应用。在踏入这片领域之际，我们首先来熟悉它的理论基础——等积移动定理：“保持底边，顶点在与底边平行的直线上移动，所得的三角形面积相等。”

经常地将等积移动定理叙述为：“共底边的三角形若顶点在与底边平行的直线上，则其面积相等。”如图21。l∥ BC , A? , A?, A? …是 I 上的点，则△A?BC =△A?BC =△А?BC =…。这里△A?BC 、△A?BC 、△A?BC 分别表示相应三角形的面积，以下皆同。

证明是轻而易举的：因为平行线间距离处处相等，所以这些三角形同底等高，从而等积。

我们先用等积移动定理证明一个经常要引用的事实。

图22

例1 如图22, AB∥CD , AC , BD 交于 O ，则 △AOD =△BOC .

看到图22，小学生会想，这不就是蝴蝶模型吗？下面我们来证明这个结论。

证明： ∵AB∥CD ,

∴△ABD =△АВС（等积移动定理）。

∴△ABD - △AOB = △ABC - △AOB ?

△AOD=△BOC （等量之差相等）。

证毕

注意：面积是量，可以使用等量公理，如“等量之差相等”。作为几何图形，即使是全等形，也没有“全等形之差全等”的说法。如图23, △ABC ≌△A'B'C' , △DEF≌△D'E'F' 。但从△ABC 中剪去△DEF 所剩阴影部分与从 △A'B'C'中剪去△D'E'F' 所剩阴影部分并不全等。

图23

下面看一个反复使用等积移动定理实施等积变换的例子。

例2 如图24，在平行四边形□ABCD 中，作对角线BD的平行线交BC于E，交CD于F，则△ABE =△ADF。

图24

证明： ∵AB∥CD ,

∴△ADF=△BDF（等积移动定理）

同理，∵AD∥BC ,∴△ABE =△DBE 。

∵EF∥BD，∴△DBE=△BDF。

∴△ABE =△ADF（等量传递）。

证毕

最后，我们用等积变换解决一个表面上看来与面积无关的问题。

例3 如图25。在平行四边形□ABCD 的两边 AD 、CD 上，各取F、E，使AE=CF , AE 、 CF交于P。则 BP 是∠APC 的平分线。

图25

证明：在平行四边形□ABCD中， AB∥CD , AD∥BC ,

∴△ABE = △ABC =?S□AВCD ,

△BCF=△BCD=?S□ABCD（等积移动定理）?△ABE =△BCF 。

又 AE=CF ，即△ABE与△BCF等积等底，从而等高。

∴ B到PC、PA的距离相等?B 在∠APC 的平分线上，即BP平分∠APC。

证毕

课堂作业

练一练

1. P为△ABC中∠A平分线上一点，过B作BE∥PC交AC延长线于E。过C作CF∥PB交 AB延长线于F，则BF=CE。

2. 在梯形ABCD中，E、F分别是两底AB、 CD 中点。在EF上任取一点O，则△AOD= △BOC.

解答：

第一题： 如图，连 PE、PF、BE∥CP ,∴△ECP= △BPC,

又∵CF∥BP ,∴△FBP=△BPC.

∴△ECP=△FBP.

∵P在∠A平分线上，则P到ABF与ACE距离相等，∴BF=CE(两个等积三角形等高,则等底).

第二题：

如图，过O点作GOH∥AB. ∵E、F分别是 AB, CD中点，∴O为GH中点。

∴△AOG=△GOE=△HOE=△BOH ,

△DOG=△FOG =△FOH=△COH?

△AOD=△AOG+△DOG=△BOH+△СОН= △BOC.