一．六大模型
1.如图，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小
4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
6. 如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小
常见题目
类型1 三角形背景下的
1．（2018秋?黔南州期末）如图，在等边△ABC中，AB＝2，N为AB上一点，且AN＝1，AD＝√3，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是（ ）
A．√3 B．2 C．1 D．3
【解析】连接CN，与AD交于点M，连接BM，此时BM+MN取得最小值，由AD为∠BAC的角平分线，利用三线合一得到AD⊥BC，且平分BC，可得出BM＝CM，由BM+MN＝CM+MN＝CN，可得出CN的长为最小值，在Rt△ACN中，AC＝AB＝2，AN＝1，根据勾股定理得：CN＝√3，故选：A．
2．（2018秋?无为县期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N,∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴1/2×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值为4．故选：B．
3．（2018秋?鼓楼区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，BD平分∠ABC．若P，Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是_______ ．
∴PA+PQ的最小值为12．故答案为12．
类型2.正方形背景下的
4．（2018秋?安顺期末）如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm，△ABE为等边三角形（点E在正方形内），若P是AC上的一个动点，PD+PE的最小值是多少（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．5cm
【解答】如图所示：连接BP．∵正方形ABCD的边长是为10cm，△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB＝10cm．
∵ABCD为正方形，P是AC上的一个动点，∴PB＝PD，∴PE+PD＝PB+PE．
∵PB+PE≥BE，∴当点E、P、B在一条直线上时，PD+PE有最小值，最小值＝BE＝10cm．
故选：C．
5．（2018春?平南县期中）如图，在正方形ABCD，边长为4，E为AB上的点，AE＝1，P为BC上的点，CP＝2，O为AC的中点．则△EOP周长的最小值是（ ）
6．（2019?江岸区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝8，动点E从A出发向D运动，动点F从B出发向A运动，点E、F运动的速度相同．当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段BE、CF相交于点P，H是线段CD上任意一点，则AH+PH的最小值为（ ）
【解答】如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接HA′．
由轴对称的性质可知：HA＝HA′，∴HA+HP＝HA′+HP，
∴当HA′+PH最短时，HA+HP的值最小，
∵AE＝BF，BA＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE+∠CBP＝90°，∴∠BCP+∠CBP＝90°，∴∠CPB＝90°，
∴点P在是以BC为直径的⊙O上运动（图中弧BP′，P′是弧BC的中点），
当点P与P′重合时，HA+HP′的值最小，最小值＝线段P′A′的长，作P′G⊥AD于G，
类型3 矩形背景下的
7．（2018?江岸区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边CD上一点，Q是以AD为直径的半圆上一点，则BP+PQ的最小值为（ ）
【解析】设半圆的圆心为O，作O关于CD的对称点O′，连接BO′交CD于点P，连接PO交半圆O于点Q，此时BP+PQ取最小值，如图所示．过O′作O′E⊥BC交BC的延长线于E，根据矩形的性质得到CE＝DO′＝4，EO′＝CD＝6，当BP+PQ取最小值时，BP+PQ＝BO′﹣1/2OD，根据勾股定理即可得6√5﹣4．故选：D．
【解答】设△PCD中CD边上的高是h．
∵S△PCD＝1/4S矩形ABCD，∴1/2?CD?h＝1/4?CD?AD，∴h＝1/2AD＝2，
∴动点P在与CD平行且与CD的距离是2的直线l上，
∵A，D关于直线l对称，连接AC交直线l于点P′，AC的长就是所求的最短距离．在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，
即PA+PB的最小值为5．故选：B．
类型4 菱形背景下的
10．（2019?安徽模拟）如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝60°，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）
【解答】如图，连接CP，AC，CE，交BD于P'，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，PD＝PD，
∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP，
∵∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，
又∵E是AB的中点，菱形ABCD的周长为16，∴CE⊥AB，BE＝2，BC＝4，
∴Rt△BCE中，CE＝2√3，当点E，P，C在同一直线上时，即点P在点P'处时，EP+AP的最小值为CE的长，∴EP+AP的最小值为2，故选：B．
11．（2019?朝阳模拟）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），
类型5 圆形背景下的
12．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
类型6 一次函数背景下的
13.一次函数y＝kx+b的图象与x，y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该直线的解析式．
（2）请判断点（1，2）是否在函数图象上；
（3）O为坐标原点，C（1，0）为OA上的点，D（1，2）为AB上的点，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
类型7 二次函数背景下的
14．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，√3），若把线段OA绕点O逆时针旋转120°，可得线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）某二次函数的图象经过A、O、B三点，求该函数的解析式；
（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上，是否存在点P，使△OAP的周长最小，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）根据点A的坐标易知∠AOx＝60°，若将OA逆时针旋转120°，点A的对应点B则正好落在x轴负半轴上，易求得OA的长，即可得到OB的长，从而求出点B的坐标B（﹣2，0）．
15．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）（0，3），过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
①求抛物线的解析式；
②求当AD+CD最小时点D的坐标，并求出AD+CD的最小值．
【解析】（1）利用待定系数法即可求函数解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）AD+BC的最小值就是线段BC的长，据此即可求解．
抛物线的对称轴是：x＝1则A关于x＝1的对称点坐标是B．
∵B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点D在直线x＝1上，∴点D的坐标为（1，2）．
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