中考数学压轴题有多难?快来试试能得几分

提到中考数学压轴题，大多数同学会感到犯怵，甚至根本不愿意去碰它们，其实只要大家平时将基本模型和方法运用熟练，再难的题也不在话下。下面这道题是2015年陕西省中考数学压轴题，其中用到我们常常训练的将军饮马模型和最大张角模型（米勒问题）。大家一起来感受一下，会不会难到你无从下手呢？

题目：

如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为___；

(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小?若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由。

分析：

前两问属于送分题，大部分同学都能快速做出来，关于将军饮马模型，我在之前也做过总结，欢迎大家前去学习（文末附链接）

（1）非常简单，如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECD为矩形，得到EC=AD，BE=BC-EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC的高，求出三角形BMC面积即可；

（2）将军饮马模型，如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；

（3）这一问难度比较大，需要用到辅助圆，没有针对性的系统训练很难想到做法。如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．

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