初中数学 专注初中数学解析
题目：（北京数学竞赛题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，点P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，证明：AB=PC。
【解析图形】
1、图中明显的特殊角：∠ABP=30°=∠PBC；∠ABH=60°；
2、图中间接的特殊角：∠HPC=60°；∠APC=120°；
3、图中暗含的等边：HA=HC；
4、图中还有一组等量线段关系比较好找：AB+AP=BC；
5、这个图中，以B为顶角，延长CP、AP交AB于某一点、其实就是我们三角形内心中的基本图：顶角60°，可以探讨角、线段、面积关系。
方法类型方法种数第1类：造等边三角形5种第2类：利用30°（60°）构造RT△2种第3类：截邻边相等造全等1种第4类：2倍角的处理——造等腰1种第5类：构造等腰三角形3种第6类：平移线段造基本图形2种
【基础预热】
1、等边三角形的构造
2、点击链接：全等基本图1——对角互补（α+β=180°）+角平分线一般情况
3、2倍角的处理——造等腰
4、等腰三角形的构造方法
第1类方法：造等边△ 利用特殊角造全等
方法1：
【解析】延长AP交BC于H，则可得：AH=CH；
在PH延长线上截取PE=PC，则△PEC为等边△；
则可得：△ABH≌△CEF，得证；
方法2：等边△中再造等边△
【解析】在BA延长线上取BJ=BC，则△BJC为等边三角形，则JB=JC；
在JC上取JK=JA，则△JAK为等边三角形，则JA=JK；
则AB=KC；
导角可证：△CPA≌△CKA，可得：CK=CP；
则AB=CP。
方法3：
【解析】在BC上截取BE=BA，则△ABE为等边三角形；连接AE；
如图2，通过导角可证明△AEC≌△CPA，则CP=AE=AB；
也可以如图3，连接PE，通过导角可得△APE≌△CEP，得证；
方法4：
【解析】以AC为边向外作等边△ACE，
这构造的是等边△的对角互补+角平分线基本图；
全等基本图3——对角互补（60°—120°）+角平分线
如图2，此处不具体解析了，主要是证明PE平分∠APC，
如图3，可证△ABC≌△CPE，则得证。
方法5：
【解析】利用∠APF=60°，在CP延长线上截取PF=AP得△APF为等边三角形。但是这样好像行不通，但是也很好通过这个辅助线构造出一个对角互补的基本图，那换种辅助线的说法即可。
如图3，作AB的中垂线与CP交于点F，连接AF、BF，
全等基本图1——对角互补（α+β=180°）+角平分线一般情况
可得∠AFB=140°，则∠FBA=∠FAB=20°，
可得△FAP为等边△；CF=BC；
接下来，再去证：AP+AB=BC=CF=PC+PF，得证。
这种解法有点复杂，作为一种思考也还是有意义的。
第2类解法：利用30°（60°）构造RT△；
方法6：
【解析】过A作AF⊥BP；作PC的中垂线交AC于G，交PC于H，连接GP。
在RT△ABF中，2AF=AB；在等腰△PGC中，2PH=PC；
则证明RT△APF≌△PGH即可；
方法7：
【解析】过A作AH⊥BC，过C作CF⊥AP；
由2S△AEC=AE?CF=CE?AH得AH=CF（面积法，不需要证全等）；
再证：△ABH≌△CPF即可。
第3类方法：截邻边相等造全等
方法8：
【解析】利用∠1=∠2，在AB延长线上截取AD=AC，
则可得△ADP≌△ACP，则DP=CP。
在过B作BF∥DP交AC于P点，额导角可得BF=CF=AB，
再证明BF=PD即可得证。
第4类方法：2倍角的处理——造等腰
方法9：
【解析】如上图2，延长BA至D，使得AD=AC；作AE∥PC，
AE∥PC，可得△AEC≌△CPA，得AE=PC；
再证△AED≌△ABC，则AB=AE；得证。
第5类方法：构造等腰三角形
方法10：
【涛哥解析】作AC=AD（以A为圆心、AC为半径作弧，与CP的交点既是D点）
通过导角，可得△ADB（字母标错了）≌△ACP，得证。
方法11：
【解析】延长AP交BC于J，作AJ=AK（也可以说作∠BAJ的平分线AK），△AJK为等腰三角形，
则AJ=AK=JC。
则证明△ABK≌△CPJ即可；
方法12：
【解析】延长AP交BC于J，作CJ=CM，
利用图中特殊角导角可得：△ABJ≌△CPM，得证。
第6类方法：平移线段造基本图形
方法13：过C作CD∥AB，过A作AD∥BC，
则△ABC≌△CDA，可的AB=CD。
则如图2所示，出现了角平分+对角互补基本图。
如图3，过C作垂线，可得△CPF≌△CDE。得证。
方法14：
【解析】
过A作AD∥PC，过A作AP∥CD，
则△ADC≌△CPA，可的AD=PC。
则如图2所示，出现了角平分+对角互补基本图。
如图3，过C作垂线，可得△ABE≌△ADF。得证。
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