勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的。我们知道弦图，它帮助我们证明了勾股定理，然而弦图的作用是十分巨大的，如果看透弦图隐含的各种模型，就能轻而易举地秒杀中考题。

模型解析

三垂直全等模型其实就是从弦图中衍生出来的一个模型，深入研究之后就会发现图形间很多有联系的东西。

这里面隐含了等腰直角三角形，如上图，很容易构造黄黄全等或红红全等。初中数学题目中往往有的题目用三角函数值来刻画角，为了规避高中知识，弦图给我们提供了直角三角形的背景，再求角的度数或大小时就回避了高中的三角和差公式。

应用时通常进一步简化如下三垂直基本图形模型。

经典考题

1．如图，等腰Rt△OAB，∠AOB＝90°，斜边AB交y轴正半轴于点C，若A（3，1），则点C的坐标为______．

【解析】：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，

∴∠BCO＝∠AFO＝90°，

∵A（3，1），∴OF＝3，AF＝1，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BOC+∠OBC＝∠BOC+∠AOF＝90°，

∴∠BOC＝∠AOF，

∵OA＝OB，∴△BOC≌△AOF（AAS），

∴BC＝AF＝1，OC＝OF＝3，∴B（﹣1，3），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴-k+b=3, 3k+b=1,，解得：k=-1/2, b=5/2，

∴直线AB的解析式为y＝﹣1/2x+5/2，

当x＝0时，y＝5/2，∴点C的坐标为（0，5/2），

故答案为：（0，5/2）．

2．如图，已知正方形ABOC的顶点B（2，1），则顶点C的坐标为_______．

【解析】：如图，过B作BF⊥x轴于F，过C作CE⊥y轴于E，

则∠CEO＝∠BFO＝90°，

∵四边形ABOC是正方形，∴∠BOC＝90°，

∴∠COE+∠BOE＝∠BOF+∠BOE＝90°，

∴∠COE＝∠BOE，

∵OC＝OB，∴△COE≌△BOF（AAS），

∴CE＝BF，OE＝OF，

∵B（2，1），∴OF＝2，BF＝1，

∴CE＝1，OE＝2，∴C（﹣1，2），

故答案为：（﹣1，2）．

变式. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值________．

【解答】：如图，作FQ⊥y轴于点Q，

∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠FAQ+∠AFQ＝90°，

∵四边形ADEF是正方形，∴FA＝AD，∠FAD＝90°，

∴∠FAQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，

易证△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝6，

又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，

∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，

∵∠ADE＝90°，

∴∠ADO+∠CDP＝90°，且∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠OAD＝∠CDP，且∠PCD＝∠AOD＝90°，

3．如图，a、b、c、d是一组平行线，且每两条相邻平行线间的距离均为1，正方形ABCD的四个顶点分别落在这四条直线上，则正方形ABCD的面积为______．

【解析】：作MN⊥l?，交l?于M点，交l4于N点．

∵l?∥l?∥l?∥l4，MN⊥l?，

∴MN⊥l?，MN⊥l4，即∠AMB＝∠BMC＝90°．

∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°．

∴∠ABM+∠CBN＝90°．

又∵∠ABM+∠BAM＝90°，

∴∠CBN＝∠BAM．

易证△ABM≌△BCN（AAS），∴CN＝BM＝1．

∵BN＝2，∴CB2＝12+22＝5，

即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．

4．已知 Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB﹣BC＝2，AC＝4，以三边分别向外作三个正方形，连接DE，FG，HI，得到六边形DEFGHI，则六边形DEFGHI的面积为_______．

【解析】：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

如图，作DJ⊥EA交EA的延长线于J，CH⊥AB于H．

∵∠DAC＝∠JAB＝90°，∴∠DAJ＝∠CAB，

∵AD＝AC，∠J＝∠AHC＝90，∴△ADJ≌△ACH（AAS），

∴DJ＝CH，

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB的度数为______．

【解析】：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理和角平分线的定义和正确运用．

作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，

∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，

∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，

∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，

∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，

∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，故答案为：45°．

6．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，以BD为边，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，连接AE．若BC＝4，AC＝5，则AE的最小值是______．

【解析】：如图，过点E作EH⊥AC于H，

∵∠BDE＝90°＝∠C，

∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，

∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，

∴△BDC≌△DEH（AAS）

∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为边AB上一点，AE＝2，P、Q分别为边AD、BC上的两点，且∠PEQ＝45°，若△EPQ为等腰三角形，则AP的长为_______．

【解析】：本题属于三角形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

（1）如图1，当PE＝PQ时，作QF⊥AD，则四边形ABQF是矩形，可得QF＝AB＝6．

∵∠A＝∠PFQ＝∠EPQ＝90°，

∴∠APE+∠QPF＝90°，∠APE+∠AEP＝90°，∴∠AEP＝∠QPF，

∵PE＝PQ，∴△AEP≌△FPQ（AAS），∴AP＝FQ＝6；

（2）如图2，当QE＝QP时，作PF⊥BC，则四边形ABFP是矩形，可得PF＝AB＝6，

同法可得：△BEQ≌△FQP（AAS），

∴BE＝FQ＝4，BQ＝FP＝6，∴AP＝BF＝10；

（3）如图3，当EP＝EQ时，作PM⊥PE交EQ的延长线于点M，作MF⊥AD于点F，MF交BC于点H．

∵EP＝EQ，BE∥MH，

8．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，OA＝6，OC＝3．∠DOE＝45°，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且CD＝2，则点E坐标为_______．

【解析】：本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．

如图，过点E作EF⊥OE交OD延长线于点F，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，作FH⊥BC于H，

∵∠EOF＝45°，EF⊥EO，∴∠EOF＝∠EFO＝45°，∴OE＝EF，

∵∠AOE+∠AEO＝90°，∠AEO+∠GEF＝90°，

∴∠GEF＝∠AOE，且∠OAE＝∠G＝90°，OE＝EF，

∴△AEO≌△GEF（AAS），∴AE＝GF，EG＝AO＝6，

∴BG＝EG﹣BE＝6﹣（3﹣AE）＝3+AE，

∵FH⊥BC，∠G＝∠CBG＝90°，

∴四边形BGFH是矩形，

∴BH＝GF＝AE，BG＝HF＝3+AE，HF∥BG∥OC，

∴HD＝BD﹣BH＝4﹣AE，

∵HF∥OC，∴△ODC∽△FDH，

∴HF/OC=HD/CD，∴(3+AE)/3=(4-AE)/2,

∴AE＝6/5，∴点E（6/5，6）.故答案为：（6/5，6）.

跟踪训练

进阶提升

解析：(1)不存在，可证全等，并得出DE+CD=AD，而斜边长为2，故直角边AD不可能为3;

(2)①运动路径是圆弧：路径长为1/2 π; ②扫过面积为1。

解析：(1)√5/5

(2)延长DE于G，使得FG⊥DE，作CM⊥EG，易证△CEM≌△EFG，则FG=EM，设DE=x，EF=√5x，则x+√5x=√5+1，x=1，则FG=1=DE，所以面积=1/2.

解析：作DM⊥BC，易证全等，再证△OMC≌△ABO，CM=AB=4，而△BOM为等腰直角三角形，所以BM=4，BC=8，勾股得AC平方为80，故面积为80。

方法总结

我们可以找到此类问题的解法：题目条件中有比值刻画的角，包含（等腰）直角三角形、等边三角形时. 我们可以用弦图沟通彼此联系。也就是平时的基本模型--"一线三直角"，其实题目还可以进一步构造成矩形，矩形框图往往也是一招必杀技！

构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换．另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现"化斜为直"，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，会更方便计算。