8数培优:揭秘特殊四边形中的最值问题求解策略

有些同学在遇到求最大值或最小值问题的时候，总是无从下手，下面整理了求解这类题的方法。我们一起来看看吧！与特殊四边形有关的最小值（或最大值）问题，是特殊四边形计算问题的重要题型，它已成为中考中一道靓丽的风景线. 常用解题思路：作出其中一点关于定直线的对称点, 过对称点作垂线或连接另一点, 根据垂线段最短或两点之间线段最短求解.求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．

类型1 求线段的最值

1.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3√3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A．3 B．4 C．4.5 D．5

【解答】如图，连结DN，∵DE=EM，FN=FM，∴EF=1/2DN，

当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，

在RTΔABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3√3，

∴利用勾股定理可求得BD==6，

∴EF的最大值=1/2BD=3．故选A．

【方法点拨】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．

2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是________ ．

【解答】∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，

此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，

∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．

故答案为4．

【方法点拨】解题的关键是找到DE的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．

3．如图，正方形ABCD边长为2，E为AB边的中点，点F是BC边上一个动点，把△BEF沿EF向形内部折叠，点B的对应点为B′，当B′D的长最小时，BF长为（ ）

A．√5/2 B．√5﹣1 C．（√5﹣1）/2 D．（√5+1）/2

【分析】如图，当E．B′、D共线时，DB′最小，此时DB′=ED﹣EB′=ED﹣EB，先求出DB′，设BF=x，再根据DF2=DB′2+B′F2=CD2+CF2，列出方程即可解决．

【解答】如图，当E．B′、D共线时，DB′最小，此时DB′=ED﹣EB′=ED﹣EB．

在RT△AED中，∵AD=2，AE=1，∴利用勾股定理可求得DE=√5，∴DB′=DE=EB=√5﹣1．

设BF=x，∵DF2=DB′2+B′F2=CD2+CF2，∴x2+（√5﹣1）2=22+（2﹣x）2，∴x=（√5+1）/2故选D．

【方法点拨】最短问题，解题的关键是正确寻找点B′的位置，学会利用勾股定理构建方程解决问题．在解决与特殊四边形有关的计算问题时，经常要用到方程思想.

类型2 求线段和的最值

4.如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )

A．5√5 B．10√5 C．10√3 D．15√3

答案：B

解析：①根据平行四边形对边相等，可知，当GH＋GF最小时，四边形EFGH周长的最小；②作点F关于CD的对称点F′，求GH＋GF′的最小值；③当H、G、F′三点共线时，GH＋GF′最小．解：作点F关于CD的对称点F′，

易证四边形EFGH为平行四边形，△AEH≌△CGF，∴AH＝CF＝CF′．

当H、G、F′三点共线时，GH＋GF′最小，即GH＋GF最小．

过点F′作点F′M⊥AD，交AD延长线于点M．则HM＝5，F′M＝10，根据勾股定理可求得HF′＝5√5，所以GH＋GF为5√5，即四边形EFGH周长的最小值为10√5．

5．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可以与B点或C重合），分别过B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'，则BB'+CC'+DD'的最大值与最小值的和为__________ ．

【分析】连接AC，DP，根据正方形的性质可得出AB=CD，S正方形ABCD=1，由三角形的面积公式即可得出1/2AP?（BB′+CC′+DD′）=1，结合AP的取值范围即可得出BB′+CC′+DD′的范围，将其最大值与最小值相加即可得出结论．

【解答】连接AC，DP，如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，

∵S△ADP=1/2S正方形ABCD=1/2，S△ABP+S△ACP=S△ABC=1/2S正方形ABCD=1/2，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，

∴1/2AP?BB′+1/2AP?CC′+1/2AP?DD′=1/2AP?（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2/AP，

∵1≤AP≤√2，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值 √2．

∴√2≤BB′+CC′+DD′≤2，∴BB'+CC'+DD'的最大值与最小值的和为2+√2．

故答案为：2+√2．

6. 如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ___________．

答案：6

解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小,设BE与AC交于点P，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的边长为6，∴AB=6．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6．

故所求最小值为6．

7.如图，己知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为_____________．

【答案】2√3

【解析】点A与点C关于直线BD对称，连接CE，交BD于点P，点P为所求作的点。

∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=BC=4，∵E为AB的中点，∴BE=2，∵菱形ABCD的面积为8√3，∴高=8√3÷4=2√3，过点C作AB边上的高CM，则CM=2√3，在Rt△CBM中，根据勾股定理可得BM=2，又∵BE=2，∴点B与点M重合，∴CE= CM=2√3

类型3 求面积的最值

8. 如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________ ．

【解答】延长EP交BC于点F，

∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，

∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，

又∵PB=PC，∴PF⊥BC，

设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=1/2CP=1/2b，a2+b2=22=4，

∵△APE和△ABD都是等边三角形，

∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，

同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CD，

∴四边形CDEP是平行四边形，

∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×1/2b=1/2ab，

又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，

∴2ab≤a2+b2=4，∴1/2ab≤1，

即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1