以二次函为背景的有关二倍角存在性问题，是以二次函数的图象和解析式为框架，判断角度满足某些二倍关系的某些条件，是否存在的问题，这类问题集代数、几何知识于一体，数形结合，解法灵活多变。现举几例说明如下。

经典考题

1.转化为等角

例1（2019?咸宁中考题）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣1/2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣1/2x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；

（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．2

【解析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式为y=-1/2x2+3/2 x+2;

（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．

如图，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F。∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE。

∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE，即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE。

∴∠DBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠BAC。

（3）B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标为（2，1）或（2-2√2，1+√2）或（2+2√2，1-√2）或（-2-2√2，3+√2）或（-2+2√2，3-√2）。

2.利用特殊角的三角函数值转化

例2.（2019?宿迁中考题）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；

（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【解析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．

（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB构造等腰△ABH，作BH中点G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H'，求得直线AH'的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．

（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x＝﹣1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN＝8为定值．

3.利用半角三角函数计算转化

例3.（2019?盐城中考题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；

（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，可求k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；；

（3）存在，理由：

①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，

图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，

设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，

4.构造等腰三角形转化角

例4.（2018?河南中考题）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【解析】（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程﹣x2+6x﹣5＝0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM＝2√2，接着根据平行四边形的性质得到PQ＝AM＝2√2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ＝45°得到PD＝√2PQ＝4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4；当P点在直线BC下方时，PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标，

方法总结

解决存在性问题的关键要理解：若能求出合理的结论，就做出“存在”的判断，求出矛盾结论，就做出不存在的判断。